已知 $\begin{cases}x=1+t^3 \\ y=e^{t^2}\end{cases}$ ，则 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\left[f\left(2+\displaystyle\frac{2}{x}\right)-f(2)\right]=$
已知 $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\sin x} \sin t^{3} d t, g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t) d t$ ，则
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(a_{n} \neq 0\right)$ ，若 $\left\{a_{n}\right\}$ 发散，则 ．
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \displaystyle\frac{1}{x y}, & x y \neq 0 \\ 0, & x y=0\end{array}\right.$ ，则在点 $(0,0)$ 处 ．
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{\pi}{6}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} d x \displaystyle\int_{\sin x}^{1} f(x, y) d y=$ ．
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，给定以下三个命题： （1）若 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) d x$ 收敛，则 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛； （2）若存在 $p\gt 1$ ，使极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在，则 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛； （3）若 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，则存在 $p\gt 1$ ，使极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在； 其中正确的个数是
设 $A$ 为三阶矩阵，$P=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $P^{T} A P^{2}=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$ ，则矩阵 $A$ 为
设 $A$ 为四阶矩阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $A\left(A-A^{*}\right)=O$ ，且 $A \neq A^{*}$ ，则 $r（A）$ 的可能取值为
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵，且 $A B=B A$ ，则＂$A$ 有两个不相等的特征值＂是＂$B$ 可对角化＂的
某物体以速度 $v(t)=t+k \sin \pi t$ 做直线运动，若它从 $t=0$ 到 $t=3$ 的时间段内平均速度是 $\displaystyle\frac{5}{2}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$
设向量 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ ，若 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 $a b=$ $\_\_\_\_$
三、解答题：（17－22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\displaystyle\frac{1}{3}, x y=3$ 与直线 $y=\displaystyle\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $\iint_{D}(1+x-y) d x d y$
设 $y=y(x)$ 满足方程 $x y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-9 y=0$ ，且 $\left.y\right|_{x=1}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$ （1）利用变换 $x=e^{t}$ 化简方程，并求 $y(x)$ 的表达式 （2）求 $\displaystyle\int_{1}^{2} y(x) \sqrt{4-x^{2}} d x$
设 $t\gt 0$ ，求曲线 $y=\sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴所围平面图形，绕 $x$ 轴旋转所得的旋转体体积为 $V(t)$ ，求 $V(t)$ 的最大值．
设 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导，$g(x, y)=f(2 x+y, 3 x-y)$ ，且 $\displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}-6 \displaystyle\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=1$ （1）求 $\displaystyle\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ （2）若 $\displaystyle\frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}=u e^{-u}$ ，且 $f(0, v)=\displaystyle\frac{1}{50} v^{2}-1$ ，求 $f(u, v)$ 的表达式
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$ ，证明： （1）当 $x \in(0,1)$ 时，$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \displaystyle\frac{x(1-x)}{2}$； （2）$\left|\displaystyle\int_0^1 f(x) d x-\displaystyle\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \displaystyle\frac{1}{12}$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{array}\right)$, 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} B A x$已知方程组 $A x=0$ 的解是 $B^{T} x=0$ 的解，但两个方程组不同解。 （1）求 $a, b$ 的值， （2）求正交矩阵 $x=Q y$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形