幂级数的运算（逐项积分、逐项求导）

### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $a_{n}$ 表示由曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}$ 所围成的平面图形的面积，$n=1,2, \cdots$ ． （1）求晽级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ； （2）求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的和．

### 第189题 积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ． （B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ． （C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ． （D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．

### 【强化篇】第35题（解答题） 35．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}$ 的和．

### 第584题 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）． 答题 区

### 第631题 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是 （A） $8,(-2,2]$ ． （B） $8,[-2,2]$ ． （C） $4,(-2,2]$ ． （D） $8,[-2,2)$ ．