导数的定义（导数、导函数）

### 第101题 下述论断正确的是 （A）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，除 $x=0$ 外均可导，且 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是严格单调增加的． （B）设 $f(x)$ 为偶函数且 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime}(0)=0$ ． （C）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处二阶导数存在，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点． （D）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处三阶导数存在，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x=x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点。

### 第17题 已知函数 $y=f(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{y}+6 x y+x^{2}=1$ 所确定，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． 锦估

### 第189题 设 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上存在二阶导数，$f(0)<0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ．试证明： （1）在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $f(x)$ 至多有两个零点，至少有一个零点． （2）若的确有两个零点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}<0$ ． 建议荅题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第28题 设有底面半径为 $r$ ，高为 $h$ 的正圆柱体，记其表面积为 $S$ ．当该圆柱体的底面半径 $r$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，高 $h$ 以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度同时均匀增长，则在 $r=4 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}$ 时，圆柱体表面积 $S$ 增长的速度为 $\_\_\_\_$ ．

### 第59题 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=f\left(x^{2}+y^{2}\right)+f(x+y)$ 所确定，且 $y(0)=2$ ，其中 $f(u)$具有连续的导数，$\displaystyle f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第93题 设有命题 （1）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导。 （2）若 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导． （3）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，且 $f\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处不可导． （4）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导． 则上述命题中正确的个数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．

### 第95题 设严格单调函数 $y=f(x)$ 有二阶连续导数，其反函数为 $x=\varphi(y)$ ，且 $f(1)=2$ ， $f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3$ ，则 $\varphi^{\prime \prime}(2)$ 等于 （A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （B）-3 ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3}{8}$ ．