📝 中国科学技术大学 2023年强基真题

二元函数 $\displaystyle f(x, y)=(x+\cos y)^{2}+(2 x+3+\sin y)^{2}$ 的值域是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

设复数 $\displaystyle z$ 满足 $\displaystyle |z|=1$ ，则 $\displaystyle \omega=\frac{z+1}{z-1}$ ，则 $\displaystyle \left|\frac{1}{\omega^{2}}+4 \omega^{2}\right|$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

$\displaystyle (1+2 x)^{2023}$ 的展开域中，正整数 $\displaystyle n=$ $\displaystyle \_\_\_\_$时，$\displaystyle x^{n}$ 的系数最大？

抛物线 $\displaystyle y=x^{2}+a, y=-x^{2}-a$ 都与 $\displaystyle x=y^{2}+a, x=-y^{2}-a$ 相切，求中间所围的封闭图形面积 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知实系数函数 $\displaystyle f(x)=x^{3}+b x^{2}+c x+d$ ，当 $\displaystyle x \in[-1,1]$ 时，恒有 $\displaystyle |f(x)| \leq|x+1|$ ，证明：$\displaystyle f(x)=0$ 的根均为实数。

已知正整数数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}, a_{1}=b_{1}=1$ ，且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 满足： $\displaystyle c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ，若存在正整数 $\displaystyle k$ 满足 $\displaystyle c_{k}=37, c_{k+2}=307$ ，求数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 的通项公式。

一个箱子里有 $\displaystyle m$ 个黑球和 $\displaystyle n$ 个白球 $\displaystyle (m\lt n)$ ，从箱子中不放回的每次抽取一个球，直到取完，记 $\displaystyle P(m, n)$ 为整个取球过程中，黑球个数始终小于白球个数的概率 （1）求 $\displaystyle P(2,4)$ ； （2）求 $\displaystyle P(m, n)$ 的表达式。

$\displaystyle n \in Z_{+}$，求证：$\displaystyle \frac{1^{2}}{n^{2}+1^{2}}+\frac{2^{2}}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{2}+n^{2}} \leq \frac{n^{2}+2 n}{4 n+2}$ ．