📝 东北大学 2025年数学分析真题

1．求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ．

2、求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z,(a>0), z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体区域的体积．

3、求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{3} x^{n}$ 的和函数，其中 $|x|<1$ ．

4、已知 $\Omega: x^{2}+y^{2} \leq z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}, z \geq 0, R>0$ ，求

$$
I=\iiint_{\Omega} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

5、设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的可微函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M, 0<x<1$ ，证明：

$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}
$$

6、设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0, \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=A$ ，证明：

$$
\int_{a}^{b} f(x) e^{f(x)} \mathrm{d} x / \int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x \geq(b-a)(b-a+A)
$$

7、证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\ln (n x)}{n x^{2}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。

8、设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且满足：$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|$ ．

9、证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在每个区间 $J_{1}=(-1,0)$ 以及 $J_{2}=(0,1)$ 上均是一致连续的，但在它们的和 $J_{1} \cup J_{2}$ 上不一致连续．

10、证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 发散．