📝 东南大学 2020年数学分析真题
第1题
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+2^{-n}\right)^{n}$ 。
第2题
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \int_{\sin x}^{1} \frac{\ln t}{t} d t$ 。
第3题
3．$\displaystyle I=\iiint_{\Omega} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, ~ \Omega: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 围成的有界区域。
第4题
4．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}} d x \cdot \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} d x$ 。
第5题
5．$\displaystyle I=\oint_{L} x y z d x+\frac{1}{2} x^{2} d y+z d z, L$ 是曲面 $\displaystyle S: 2-z=x^{2}+y^{2}, z \geq 1$ 边界，方向与 $S$ 上侧成右手定则。
第6题
6．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{-\infty} e^{-p x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x$ ，其中，$\displaystyle p>0, b>a>0$ 。
第7题
7．$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x d x(n=0,1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的和。
第8题
8．已知 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，有界数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 发散，指出 $\displaystyle \left\{a_{n} b_{n}\right\}$ 发散的充要条件，并证明。
第9题
9．设 $\displaystyle g: R \rightarrow R$ 二阶可导，且 $\displaystyle g(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}g^{\prime}(0), & x=0 \\ \frac{g(x)-\cos x}{x}, & x \neq 0^{\circ}\end{array}\right.$ 。
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续吗？
（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并问 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 是否连续？
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续吗？
（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并问 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 是否连续？
第10题
10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ，
问：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 是否一致连续？
问：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 是否一致连续？
第11题
11．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$ 。
（1）设 $\displaystyle a_{n} \geq 0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？收敛则证明，不收敛则举出反例。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？
（1）设 $\displaystyle a_{n} \geq 0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？收敛则证明，不收敛则举出反例。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 是否一定收敛？
第12题
12．求原点到球物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与椭圆柱面 $\displaystyle x^{2}+x y+y^{2}=4$ 上的交线上的最近、最远距离。
第13题
13．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x(n \geq 2)$
（1）证明：$\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 有唯一实根 $\displaystyle x_{n}$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（1）证明：$\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 有唯一实根 $\displaystyle x_{n}$ 。
（2）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
第14题
14．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶可导， $\displaystyle \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ 且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8$ 。
第15题
15．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(x) \leq \int_{0}^{x} f(t) d t$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
第16题
16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 收玫。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
第17题
17．叙述有限覆盖定理，并用之证明任何有界无穷数列必有收敛子列。