📝 北京工业大学 2018年数学分析真题

七．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且 $\displaystyle f(x) \geq g(x)$ ，同时 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} g(x) d x$ ，证明对所有的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 。

三．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x+1}{x-1}$ 的极值点与拐点。

二．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle \| f(a)<0, f(b)>0$ 。证明：
（1）集合 $\displaystyle A=\{x \in[a, b] \mid f(x)<0\}$ 有 $\displaystyle \mid$ ：确界。
（2）如果 $\displaystyle \sup A=l$ ，则 $\displaystyle f(l)=0$

五．（20 分）求圆 $\displaystyle (x-b)^{2}+y^{2}=a^{2}(0<a<b)$ 绕 $y$ 轴旋转一周的旋转体的体积。

八．（15 分）设对每个正整数 $n$ ，函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，又对 $\displaystyle [a, b]$ 上每个 $x$ ，序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是有界列，证明在 $\displaystyle [a, b]$ 中存在一个小区间使得函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$在该小区间上一致有界。

六．（20分）讨论函数 $\displaystyle \xi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的定义域以及它在定义域内的可微性。

四．（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 满足如下条件：
（1）在圳区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续，
（2）在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 可导。
则在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。

1．计算 $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}} d x d y d z$ ，其中 $V$ 是空间域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2 z$ 。

2．计算 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} x\left(y^{2}+z^{2}\right) d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 且外侧为正侧。

3．已知方程 $\displaystyle \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ 确定了隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ，求 $\displaystyle \frac{d y}{d x}$ 。

4．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $a$ 可导且 $\displaystyle f(a) \neq 0$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow s}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]^{\prime \prime}$ 。

5．求曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 在 $\displaystyle (1,1,1)$ 点的切平面与坐标轴的交点到原点的距离之和。