📝 北京科技大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}}(\cos x)^{\frac{\pi}{2}-x}$ ．

2．设 $a=\sum_{i=1}^{n} a_{i}, a_{i}>0$ ，求 $S=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$ 的最小值．

3．求积分 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ ．

4．设 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{2 x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{2}-n}{\ln n}$ ．

七．讨论 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{a}{1+x^{2} a^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle \left[a_{0},+\infty\right)$ 和 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的一致收敛性，其中 $\displaystyle a_{0}>0$ ．

三．已知 $\displaystyle f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且 $\displaystyle u=0$ 附近满足 $\displaystyle |\varphi(u)| \leq u^{2}$ ，证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

九．讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$（ $A$ 为常数），证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．

五．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} a^{n}}{n \ln \left(n^{2}+n\right)} x^{2 n-1}$ 的收玫域，其中 $\displaystyle a>0$ ．

八．设 $\displaystyle f(x)$ 是可导函数，对任意围绕原点一周的定向闭曲线 $L$ ，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{f(x)+4 y^{2}}$ 的值恒为常数 $A$ ，且 $\displaystyle f(1)=2$ ，求 $A$ 的值与 $\displaystyle f(x)$ ．

六．对于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x\right)}{n} x^{-(n+1)}$ ．证明：
（1）该级数在 $\displaystyle \left[1+\varepsilon_{0},+\infty\right)\left(\varepsilon_{0}>0\right)$ 上一致收敛．
（2）该级数在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛．