📝 华中师范大学 2025年数学分析真题
第0题
1、设 $D=\{(x, y):|x| \leq R,|y| \leq R\}$ ，求极限
$$
I=\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
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I=\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
第0题
2、已知 $\varphi(t)=\int_{0}^{1} \ln \left(\sqrt{x^{2}+t^{2}}\right) \mathrm{d} x,(0 \leq t \leq 1)$ ，求 $\varphi(t)$ 在 $t=0$ 处的单侧导数．
第0题
3、计算 $\displaystyle J=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
第0题
4、求全微分 $(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ 的原函数 $u(x, y, z)$ ．
第0题
5、计算第二型曲面积分 $I=\iint_{S} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} =1(a, b, c>0)$ 的上半部分，并取外侧．
第0题
八、（20 分）设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ ，其中 $\displaystyle a_{n}$ 均为实数，证明：
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收玫，则对任意的 $\displaystyle x>\lambda$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫．
（2）存在实数 $r$ ，使得当 $\displaystyle x>r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫；当 $\displaystyle x<r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收玫，则对任意的 $\displaystyle x>\lambda$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫．
（2）存在实数 $r$ ，使得当 $\displaystyle x>r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫；当 $\displaystyle x<r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散．
第0题
六、（10分）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对 $\displaystyle \forall[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，有
$$
\left|\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta}
$$
其中 $\displaystyle M, \delta$ 为正常数，求证：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
$$
\left|\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta}
$$
其中 $\displaystyle M, \delta$ 为正常数，求证：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
第0题
四、（15 分）考察级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n}{n}$ 的玫散性．