📝 南京师范大学 2011年高等代数真题
第0题
一、（15 分）计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccccc}x & a & a & \cdots & a & a \\ -a & x & a & \cdots & a & a \\ -a & -a & x & \cdots & a & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ -a & -a & -a & \cdots & x & a \\ -a & -a & -a & \cdots & -a & x\end{array}\right|$ 。
第0题
七、（20分）设三维线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ．
（1）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵；
（2）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, k \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵，其中 $\displaystyle k \in P$ 且 $\displaystyle k \neq 0$ ；
（3）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$
高等代数
（1）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵；
（2）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, k \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵，其中 $\displaystyle k \in P$ 且 $\displaystyle k \neq 0$ ；
（3）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$
高等代数
第0题
三、（10 分）设 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足：对任意的 $\displaystyle 1 \leq i, j \leq n$ 且 $\displaystyle i \neq j$ ，不等式 $\displaystyle \left|a_{i i} a_{i j}\right|>\left(\sum_{k \neq i}\left|a_{i k}\right|\right)\left(\sum_{t \neq j}\left|a_{j k}\right|\right)$ 成立。证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ 。
第0题
九、（15分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{520}+3 A^{70}-7 E$ ．（其中 $E$ 为单位矩阵） ＋、（10分）证明：任一 $n$ 级方阵和它的转置矩阵相似。
$\displaystyle \_\_\_\_$
$\displaystyle \_\_\_\_$
第0题
二、（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的两个多项式，满足 $\displaystyle \left(x^{2}+x+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x f_{2}\left(x^{3}\right)$ 。证明： $\displaystyle (x-1) \mid\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$.
第0题
五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 级矩阵，证明：
（1）$A$ 是反对称矩阵当且仅当对任一个 $n$ 维向量 $X$ ，有 $\displaystyle X^{\prime} A X=0$ ；（ $\displaystyle X^{\prime}$ 表示 $X$ 的转置）
（2）如果 $A$ 是对称矩阵，且对任一个 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{\text {有 } X^{\prime} A X=0 \text { ，那么 } A=0 \text { ．}}$
（1）$A$ 是反对称矩阵当且仅当对任一个 $n$ 维向量 $X$ ，有 $\displaystyle X^{\prime} A X=0$ ；（ $\displaystyle X^{\prime}$ 表示 $X$ 的转置）
（2）如果 $A$ 是对称矩阵，且对任一个 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{\text {有 } X^{\prime} A X=0 \text { ，那么 } A=0 \text { ．}}$
第0题
八、（20分）用正交线性替换化下列二次型为标准形：
$$
x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3} .
$$
$$
x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3} .
$$
第0题
六、（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次方程组 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ 与 $\displaystyle x_{1}=x_{2}^{\prime}=\cdots=x_{n}$ 的解空间，证明：
$$
P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}
$$
$$
P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}
$$
第0题
四、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称半正定矩阵，$B$ 为 $n$ 级正定矩阵。证明：$\displaystyle |A+B| \geq|B|$ ．