📝 南京师范大学 2012年数学分析真题
第0题
1）对任意自然数 $n$ ，方程 $f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内有且仅有一个解；
第0题
2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是方程 $f_{n}(x)=1$ 的解，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{\pi}{6}$ ．（20 分）
第0题
三．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ，证明： $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．（15 分）
第0题
九、设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在正方形区域 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，记 $\displaystyle I=[0,1]$ 。（15 分）．
（1）．试比较 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)$ 与 $\displaystyle \sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 的大小并证明之；
$$
\begin{aligned}
& \frac{4 y^{2}-x^{2}-8 x y}{\left(x^{2}+x y^{2}\right)^{2}} \\
& =0 .
\end{aligned}
$$
（2）给出并证明使等式 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)=\sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 成立的充分条件；（你认为最好的）
（1）．试比较 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)$ 与 $\displaystyle \sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 的大小并证明之；
$$
\begin{aligned}
& \frac{4 y^{2}-x^{2}-8 x y}{\left(x^{2}+x y^{2}\right)^{2}} \\
& =0 .
\end{aligned}
$$
（2）给出并证明使等式 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)=\sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 成立的充分条件；（你认为最好的）
第0题
二．设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则存在 $\displaystyle c \in(a, b) \supset f^{\prime}(c)=0$ ．（15 分）
第0题
五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内递增，对任何正数 $\displaystyle T, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, T]$ 上可积，且
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=C \quad(C \text { 为常数 })
$$
证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．（15 分）
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=C \quad(C \text { 为常数 })
$$
证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．（15 分）
第0题
八、设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限为 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1-}(1-x) f(x)=a$ ．（10 分）对 $\displaystyle \frac{a_{n}}{a} \frac{\left.a_{n}\right)^{n}}{a_{n}}=$.
$$
\frac{\partial Q}{\partial x}=\widetilde{\left(x^{2}+4 y^{2}\right)^{2}}
$$
$$
\frac{\partial Q}{\partial x}=\widetilde{\left(x^{2}+4 y^{2}\right)^{2}}
$$
第0题
六．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\sin x+\sin ^{2} x+\cdots+\sin ^{n} x$ 。求证
1）对任意自然数 $n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内有且仅有一个解；
2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的解，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{\pi}{6}$ ．（20 分）
1）对任意自然数 $n$ ，方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 在 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内有且仅有一个解；
2）设 $\displaystyle x_{n} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是方程 $\displaystyle f_{n}(x)=1$ 的解，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{\pi}{6}$ ．（20 分）
第0题
十、（1），证明 $\displaystyle l(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{y}{2+y^{x}} d y$ 在 $\displaystyle (2,+\infty)$ 内连续；
$$
\ln _{n \rightarrow b} a_{n}=a .
$$
（2）利甲欧拉积分计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} d x$ ；其中 $\displaystyle \Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} ;(0<s<1)$ 。（15分）。
$$
m \times \frac{m}{n_{n}}-\frac{1}{n^{2}}
$$
$$
\ln _{n \rightarrow b} a_{n}=a .
$$
（2）利甲欧拉积分计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} d x$ ；其中 $\displaystyle \Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} ;(0<s<1)$ 。（15分）。
$$
m \times \frac{m}{n_{n}}-\frac{1}{n^{2}}
$$
第0题
四．设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \left.\quad q>r^{n}=m \sqrt[n]{n}\right)^{n} \neq 0$ 。
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \quad$ of $\displaystyle \quad \forall \quad \forall 0 \quad 7^{\circ} \quad h^{m} \quad r \sqrt{n}=n^{-b} \quad$ 当
（2）当数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$
（3）当 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \sim$ ar
对上述结论中正确的给予证明，错误的给出反例。（15 分）
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \quad$ of $\displaystyle \quad \forall \quad \forall 0 \quad 7^{\circ} \quad h^{m} \quad r \sqrt{n}=n^{-b} \quad$ 当
（2）当数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$
（3）当 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \sim$ ar
对上述结论中正确的给予证明，错误的给出反例。（15 分）