📝 南京师范大学 2013年高等代数真题

一、（20 分，每题 5 分）叙述题：
（1）艾森斯坦（Eisenstein）判别法；
（2）克拉默（Cramer）法则；
（3）哈密顿－凯莱（Hamilton－Caylay）定理；
（4）正交变换．

七、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 级实对称矩阵并且饸好有 $r$ 个不同的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$ 。证明存在矩阵
$\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ 满足条件：（1）$\displaystyle A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{r}=E_{r}$ ；（2）$\displaystyle A_{i}^{2}=A_{i}, i=1,2, \cdots, r$ ；（3）$\displaystyle A_{i} A_{j}=0$ ， $\displaystyle i \neq j:(4) \quad A=\lambda_{1} A_{1}+\lambda_{2} A_{2}+\cdots+\lambda_{r} A_{r}$.

三、（15分）设 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n}$ 为 $n$ 个实数，令 $\displaystyle s_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots+x_{n}^{k}$ 。计算行列式：

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
s_{1} & s_{2} & \cdots & s_{n} \\
s_{2} & s_{3} & \cdots & s_{n+1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
s_{n} & s_{n+1} & \cdots & s_{2 n-1}
\end{array}\right| .
$$

九、（20分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\right)$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=x^{2012}+x-1$ ，计算矩阵 $\displaystyle g(A)$ 的行列式。

二、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为有理数域上的非零多项式，如果 $\displaystyle f(\sqrt{3})=0$ ，证明：在有理数域上 $\displaystyle x^{3}-2$ 整除 $\displaystyle f(x)$.

五、（15分）设矩阵 $A$ 是实对称矩阵。证明：当实数 $\displaystyle \lambda$ 充分大之后，$\displaystyle \lambda E+A$ 是正定矩阵。

八、（ 20 分）设 $A$ 是 $n$ 级实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=2 A+3 E_{n}$ 。证明：（1）$A$ 相似于一个对角矩阵；（2）$\displaystyle A+2 E_{n}$是可逆矩阵．

六、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，求由齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+4 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}-3 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}-13 x_{3}+11 x_{4}=0\end{array}\right.$ 确定的解空间的基和维数．

四、（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ；（2）$\displaystyle a_{i j}<0$ ，
$\displaystyle i \neq j$ ；（3）$\displaystyle \dot{a}_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．