📝 南京师范大学 2020年数学分析真题
第0题
一、（15分）计算下列极限
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right] \quad(0<\alpha<1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \times \sqrt{\cos 2 x}}{x^{2}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n+\frac{1}{2}}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n+\frac{1}{n}}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right] \quad(0<\alpha<1)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \times \sqrt{\cos 2 x}}{x^{2}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n+\frac{1}{2}}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n+\frac{1}{n}}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
第0题
七、（15 分）（1）叙述函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上不一致收玫的柯西准则。
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 及 $\displaystyle [a,+\infty)$ ，
$\displaystyle (a>0)$ 上的一致收玫性．
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 及 $\displaystyle [a,+\infty)$ ，
$\displaystyle (a>0)$ 上的一致收玫性．
第0题
三、（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0$ ，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可积．证明：
$$
|f(x)| \leq \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| d t ; x \in[a, b]
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内连续可导．试证：
$$
|f(x)| \leq \int_{0}^{1}\left[|f(t)|+\left|f^{\prime}(t)\right|\right] d t, \quad x \in[0,1]
$$
四 、（15 分 ）设 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=1, f(-1)=f(1)=0$ ．证 明 ：对 任 给 $\displaystyle a \in(-1,1), \quad \exists \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=a$ ．
$$
|f(x)| \leq \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| d t ; x \in[a, b]
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内连续可导．试证：
$$
|f(x)| \leq \int_{0}^{1}\left[|f(t)|+\left|f^{\prime}(t)\right|\right] d t, \quad x \in[0,1]
$$
四 、（15 分 ）设 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=1, f(-1)=f(1)=0$ ．证 明 ：对 任 给 $\displaystyle a \in(-1,1), \quad \exists \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=a$ ．
第0题
九、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，$\displaystyle \Sigma$ 为曲面： $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-2)^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{9}$ ，
$\displaystyle z \geq 0$ ，方向取上侧．
$\displaystyle z \geq 0$ ，方向取上侧．
第0题
二、（15 分）设 $\displaystyle f \in C[a,+\infty)$ ，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，它以直线 $\displaystyle y=b x+c$ 为渐近线．证明：$f$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．
第0题
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某邻域内二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 均不为 0 ．证明存在唯一组实数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，使得
$$
\lambda_{1} f(h)+\lambda_{2} f(2 h)+\lambda_{3} f(4 h)-f(0)=o\left(h^{2}\right)
$$
$$
\lambda_{1} f(h)+\lambda_{2} f(2 h)+\lambda_{3} f(4 h)-f(0)=o\left(h^{2}\right)
$$
第0题
八、（15 分）设平面薄板为区域 $D$ ，其中 $D$ 由坐标轴及曲线 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成，平面薄板的密度函数 $\displaystyle \rho(x, y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ．求此平面薄板的质量．
第0题
六、（15 分）（1）证明： $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{2} d x$ 条件收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+1} \sin t^{2} d t=0$ ．
第0题
十、（15 分）设函数 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上对变量 $z$ 连续，对变量 $y$（关于 $z$ ）一致
连续，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在口 $\displaystyle { }^{3}$ 上有界，证明：$\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上连续．
连续，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在口 $\displaystyle { }^{3}$ 上有界，证明：$\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上连续．