📝 南京航空航天大学 2023年高等代数真题

一．已知三阶矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & 6 \\
-1 & 0 & a \\
-1 & -1 & 4
\end{array}\right)
$$

$\displaystyle f(x)=|x E-A|$ 是 $A$ 的特征多项式，且 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 是 $A$ 的最小多项式．
（1）求 $a$ 及 $\displaystyle f(x)$ ；
（2）求 $A$ 的初等因子；
（3）$A$ 是否与对角矩阵相似？请说明理由．

七．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=A+B$ ．证明：
（1）$\displaystyle A B=B A$ ；
（2）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $A$ 的特征值；
（3）若 $A$ 相似于对角阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为对角阵．

三．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \alpha_{2}=(-2, \alpha, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, \alpha,-2)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \beta_{2}=(1, \alpha, 1)^{T}, \beta_{3}=(\alpha, 1,1)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间．
（1）若 $\displaystyle V_{2}$ 的维数为 1 ，求 $\displaystyle \alpha$ 的值；
（2）若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围；
（3）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 维数的取值范围．

二．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & b\end{array}\right)$ 有特征向量 $\displaystyle \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值；
（2）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵；
（3）求 $\displaystyle A^{2022}$ ．

五．设三阶实矩阵 $A$ 的 3 个列向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，二次型

$$
f(x)=\left(\alpha^{T} x\right)^{2}+\left(\beta^{T} x\right)^{2}+\left(\gamma^{T} x\right)^{2}
$$

其中 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ．
（1）求此二次型的矩阵 $B$ ；
（2）问：此二次型是否正定？并写出此二次型的规范型；
（3）是否存在正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle B=S^{3}$ ？并说明理由．

八．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle U, W$ 是 $V$ 的两个子空间，并且 $\displaystyle V=U \oplus W$ ．任给 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} \in V$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{1} \in U, \alpha_{2} \in W$ ，令 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha_{1}$ ．记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} \sigma=\{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ；
（2） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=W, \operatorname{Im} \sigma=U$ ；
（3）$\displaystyle \sigma$ 可对角化．

六．解答如下问题：
（1）判别多项式 $\displaystyle x^{6}-5 x+6$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上有无重因式；
（2）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{4}=E$ ，证明：在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上 $A$ 一定可对角化；
（3）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且满足 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 在数域 $P$ 上可对角化．证明：在数域 $P$ 上，$\displaystyle A, B$ 均可对角化．

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且

$$
\sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} .
$$

（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ；
（2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值；
（3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．