📝 厦门大学 2020年高等代数真题

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

2．设 $A$ 是 3 阶方阵，$P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 。若 $P=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)$ ， $Q=\left(X_{2}, X_{1}, X_{3}\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $P^{-1}$ 表示 $P$ 的逆。

3．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为客，且 $A$ 的秩 $r(A)=n-1$ ，则齐次线性方程组 $A X=0$ 的所有解为 $\_\_\_\_$。

4．已知 3 是 $\left(\begin{array}{rrrr}1 & & & 1 \\ & 2 & 2 & \\ & 2 & a & \\ 1 & & & 1\end{array}\right)$ 的一个特征值，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ＂

5．设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，且在 $F$ 上互素．若有复数 $c$ ，使得 $f(c)=0$ ，则 $g(c)$ $\_\_\_\_$ （选填＂必等于＂＂未必等于＂＂必不等于＂） 0 。

6．设 $F$ 是数域，

$$
\begin{aligned}
& V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\
& V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\}
\end{aligned}
$$

则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。

7．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\lambda^{4}(\lambda-1)^{2}$ ，且 $r(A)=4, r\left(A^{2}\right)=2, r(A-E)=4$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形是 $\_\_\_\_$。

8．设 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $V_{1}$ 的维数小于 $V_{2}$ 的维数，则 $V_{2}$ 中
$\_\_\_\_$ （选填＂必有＂＂未必有＂＂必没有＂）一非零向量正交于 $V_{1}$ 中的所有向量。