📝 吉林大学 2026年高等代数真题

一．设 $\displaystyle f(x)$ 是复数域上的一个多项式， $\displaystyle \operatorname{deg} f(x)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(x^{2}\right) \mid f\left(x^{4}\right)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的任意非零根都落在复平面的单位圆上．

七．在空间直角坐标系下，设 $\displaystyle S_{1}$ 和 $\displaystyle S_{2}$ 是如下两个球面：

$$
\begin{gathered}
S_{1}:(x-6)^{2}+(y-8)^{2}+z^{2}=25 \\
S_{2}:(x-10)^{2}+(y-5)^{2}+z^{2}=50
\end{gathered}
$$

求曲线 $\displaystyle S_{1} \cap S_{2}$ 绕 $z$ 轴旋转得到的曲面的方程．

三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明：

$$
\left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right]
$$

二．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：
（1）$A$ 可以对角化．
（2） $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ ．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A+I$ 与 $\displaystyle A-I$ 合同当且仅当 $\displaystyle A^{2}-I$ 正定．

八．在空间直角坐标系下，设双曲拋物面 $S$ 的一般方程为 $\displaystyle x^{2}-4 y^{2}=2 z$ ．
（1）证明：对 $S$ 中任意一点，有两条直母线经过它．
（2）求 $S$ 中所有垂直相交的直母线的交点构成的图形的方程．

六．在空间直角坐标系下，求平面 $\displaystyle \Pi: x+y+z=2$ 内与直线 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2=0 \\ x+z-1=0\end{array}\right.$ 垂直相交的直线的一般方程．

四．设 $n$ 阶上三角矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
& 1 & 2 & \cdots & n-1 \\
& & 1 & \cdots & n-2 \\
& & & \ddots & \vdots \\
& & & & 1
\end{array}\right) .
$$

（1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形．
（2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．