📝 哈尔滨工业大学 2016年数学分析真题
第0题
一．（15 分）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}(n \geqslant 0)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ ．
第0题
七．（15 分）判断
$$
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n-(-1)^{n}}
$$
的玫散性．
$$
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n-(-1)^{n}}
$$
的玫散性．
第0题
三．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足：
（1）$\displaystyle -\infty<a \leqslant f(x) \leqslant b<+\infty(a \leqslant b)$ ．
（2）$\displaystyle |f(x)-f(y)|<|x-y|,(x, y \in[a, b], x \neq y)$ ．
取 $\displaystyle x_{1} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right)(n \geqslant 1)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x^{*}$ 存在且 $\displaystyle x^{*}=f\left(x^{*}\right)$ ．
（1）$\displaystyle -\infty<a \leqslant f(x) \leqslant b<+\infty(a \leqslant b)$ ．
（2）$\displaystyle |f(x)-f(y)|<|x-y|,(x, y \in[a, b], x \neq y)$ ．
取 $\displaystyle x_{1} \in[a, b]$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right)(n \geqslant 1)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x^{*}$ 存在且 $\displaystyle x^{*}=f\left(x^{*}\right)$ ．
第0题
九．（15 分）求证
$$
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)
$$
$$
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)
$$
第0题
二．（15 分）给定函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases}
$$
求证 $f$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 处不连续．
$$
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases}
$$
求证 $f$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 处不连续．
第0题
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，并且 $\displaystyle \forall x \in[a, b], \exists y \in[a, b]$ ，s．t $\displaystyle |f(y)| \leqslant \frac{1}{2}|f(x)|$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
第0题
八．（15 分）求证
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sin \pi x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x
$$
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sin \pi x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x
$$
第0题
六．（15 分）对数列 $\displaystyle \left\{a_{k}\right\},\left\{b_{k}\right\}$ 定义 $\displaystyle a_{k}=b_{k+1}-b_{k}$ ．求证：若 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left|b_{k}\right|$ 都收敛，则 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} b_{k}$ 也收敛．
第0题
十．（15 分）（1）计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为半球面 $\displaystyle Z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧．
（2）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内分段光滑曲线，证明积分
$$
I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y
$$
与 $L$ 的路径无关．
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为半球面 $\displaystyle Z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧．
（2）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内分段光滑曲线，证明积分
$$
I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y
$$
与 $L$ 的路径无关．
第0题
四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 的定义域为 $\displaystyle [a, b]$ ，若满足 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|^{\theta}$ ．当 $\displaystyle 0<\theta \leqslant 1$ 时称满足 Lipsditz 条件，为什么 $\displaystyle \theta$ 不能取大于 1 ．