📝 哈尔滨工业大学 2022年数学分析真题
第0题
一、用 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{2}}=1$ ．
第0题
七、解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $\displaystyle R>0$ ，求
$$
F(x)=\frac{f(x)}{1-x}
$$
的幂级数展开，并讨论该级数的收玫半径．
（2）若 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=1, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：
$$
\overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{\left|S_{n}\right|}=1 .
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $\displaystyle R>0$ ，求
$$
F(x)=\frac{f(x)}{1-x}
$$
的幂级数展开，并讨论该级数的收玫半径．
（2）若 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=1, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：
$$
\overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{\left|S_{n}\right|}=1 .
$$
第0题
三、设 $n$ 是一个给定的正整数，且
$$
f(x)= \begin{cases}x^{n} \sin (\ln |x|), & x \neq 0 \\ 0, & , x=0\end{cases}
$$
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{n^{2}+1} \cdot x^{n-k} \sin (\ln |x|+\alpha), x \neq 0$ ，求 $k$ 和 $\displaystyle \tan \alpha$ ．
（2）当 $\displaystyle x \neq 0$ 时，求 $\displaystyle f^{(m)}(x), ~ m$ 是不超过 $n$ 的任一正整数，即 $\displaystyle m \leq n, n \in \mathbb{N}^{*}$ 。
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在 $\displaystyle 1,2, \cdots, n-1$ 阶导，但不存在 $n$ 阶导。
$$
f(x)= \begin{cases}x^{n} \sin (\ln |x|), & x \neq 0 \\ 0, & , x=0\end{cases}
$$
（1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{n^{2}+1} \cdot x^{n-k} \sin (\ln |x|+\alpha), x \neq 0$ ，求 $k$ 和 $\displaystyle \tan \alpha$ ．
（2）当 $\displaystyle x \neq 0$ 时，求 $\displaystyle f^{(m)}(x), ~ m$ 是不超过 $n$ 的任一正整数，即 $\displaystyle m \leq n, n \in \mathbb{N}^{*}$ 。
（3）证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在 $\displaystyle 1,2, \cdots, n-1$ 阶导，但不存在 $n$ 阶导。
第0题
九、解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ y+\sin z-2 t=0 \\ 2 z+\cos t=0\end{array}\right.$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}$.
（2）设 $\displaystyle \Gamma$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上没有自交点的曲线，方向取逆时针，求曲线积分
$$
\oint_{\Gamma} \frac{3 x \mathrm{~d} y-3 y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+5 y^{2}} .
$$
（3）设 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 2\right\}$ ，方向朝外，求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4）设 $\displaystyle \Sigma: x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0,4 x+2 y+\sqrt{5} z=1$ ，方向朝上．求力 $\displaystyle \vec{F}=\left(-z^{2},-x^{2},-y^{2}\right)$ 绕 $\displaystyle \partial \Sigma$ 一周所做的功，$\displaystyle \partial \Sigma$ 表示 $\displaystyle \Sigma$ 的边界，与 $\displaystyle \Sigma$ 协调定向，方向为逆时针．
（1）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ y+\sin z-2 t=0 \\ 2 z+\cos t=0\end{array}\right.$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}$.
（2）设 $\displaystyle \Gamma$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上没有自交点的曲线，方向取逆时针，求曲线积分
$$
\oint_{\Gamma} \frac{3 x \mathrm{~d} y-3 y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+5 y^{2}} .
$$
（3）设 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 2\right\}$ ，方向朝外，求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4）设 $\displaystyle \Sigma: x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0,4 x+2 y+\sqrt{5} z=1$ ，方向朝上．求力 $\displaystyle \vec{F}=\left(-z^{2},-x^{2},-y^{2}\right)$ 绕 $\displaystyle \partial \Sigma$ 一周所做的功，$\displaystyle \partial \Sigma$ 表示 $\displaystyle \Sigma$ 的边界，与 $\displaystyle \Sigma$ 协调定向，方向为逆时针．
第0题
二、解答如下问题：
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \in[a, b]$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得：
$$
f(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 且单调，使得 $\displaystyle a \leq x_{n} \leq b, ~ g\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n+1}\right)$ ，证明：存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \in[a, b]$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得：
$$
f(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)
$$
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 且单调，使得 $\displaystyle a \leq x_{n} \leq b, ~ g\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n+1}\right)$ ，证明：存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
第0题
五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(b)=-f^{\prime}(a)$ ．
（1）分别用 $\displaystyle a, b$ 两点的泰勒公式表达 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ．
（2）若增加条件：$\displaystyle f^{\prime}(a) \neq 0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, d$, 着，彼等
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|=\frac{4|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}}
$$
（1）分别用 $\displaystyle a, b$ 两点的泰勒公式表达 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ．
（2）若增加条件：$\displaystyle f^{\prime}(a) \neq 0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, d$, 着，彼等
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|=\frac{4|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}}
$$
第0题
八、对参数 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty)$ ，讨论 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{a} x e^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,1]$上的收敛性和一致收敛性．
第0题
六、已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。
第0题
四、设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，若 $\displaystyle \forall g(x) \in C[a, b]$ 且
$$
\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0 \text {, 则 } \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
证明：（1）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=f(c) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$
（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为常值函数．
$$
\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0 \text {, 则 } \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
证明：（1）$\displaystyle \exists c \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=f(c) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$
（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上为常值函数．