📝 哈尔滨工程大学 2024年高等代数真题

1．设 $\displaystyle a \neq b, n$ 阶行列式 $\displaystyle \left\lvert\, \begin{array}{cccccc}a+b & a b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & a b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+b & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a+b & a b \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a+b\end{array}\right.$的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．若 3 阶可逆阵 $A$ 交换 1,2 行得矩阵 $B$ ，再将矩阵 $B$ 的第 2 行加到第 3 行上得到矩阵 $C$ ，则满足 $\displaystyle P A=C$ 的矩阵 $\displaystyle P=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

3．若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 正定，则参数 $t$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B=1, W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，且 $\displaystyle W_{1} \neq W_{2}$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．设 3 阶对称阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}+2 A-3 E=O$ ，其中 $E$ 为单位阵，且 $A$ 与 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right)$ 合同，则 $\displaystyle |A+2 E|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设有向量组

$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
2 \\
2 \\
0 \\
-2
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}
3 \\
2 \\
-1 \\
-5
\end{array}\right) .
$$

令 $\displaystyle W=\operatorname{span}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的全部线性组合构成的线性空间，求 $W$ 的维数和一组基．

7．设 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶非零实方阵，$E$ 为 3 阶单位阵，$A$ 与 $B$ 相似，且 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足

$$
A_{i j}=a_{i j}(i, j=1,2,3)
$$

其中 $\displaystyle A_{i j}$ 为元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，记 $\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，又已知 $\displaystyle |E+B|=|E-B|=0$ ，求

$$
\left|A^{*} B+2 A^{*}+2 B+4 E\right|
$$

8．设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间，$V$ 的一组基 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求证：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ 也是 $V$ 的基。
（2）求基 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 到基 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 的过渡矩阵．

9．设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关，且 $\displaystyle \beta_{k}=\sum_{i=1}^{n} c_{k i} \alpha_{i}(k=1,2, \cdots, n)$ ，令 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n}$ ，求证：向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle |C| \neq 0$ ．

10．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & a & 6\end{array}\right)$ 可相似对角化．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求正交变换 $\displaystyle X=P Y$ ，将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{T} A X$ 化为标准形．

11．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{T}_{1}$ 为 $V$ 上的线性变换，求证：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}$ 和 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T}_{1}=\mathscr{T}_{2} \mathscr{T}_{3}$ ，其中 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}^{2}=\mathscr{T}_{2}$ ，且 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ 可逆。

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ．
（1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。
（2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

13．设 $\displaystyle \beta=\sqrt[3]{2}, \mathbb{Q}$ 为有理数域，求证：$\displaystyle F=\left\{k_{0}+k_{1} \beta+k_{2} \beta^{2} \mid k_{0}, k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Q}\right\}$ 构成数域。

14．设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B$ ．
（1）求证：$\displaystyle A B=B A$ ．
（2）求证：若存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle A^{k}=O$ ，则 $\displaystyle |B+2024 A|=|B|$ ．