📝 安徽师范大学 2024年高等代数真题

七．（20 分）实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 经过正交变换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值；
（2）求所作的正交变换；
（3）判断二次型是否为正定二次型，并说明理由．

三．（10 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}(r \geq 3)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关．证明
（1）向量 $\displaystyle \alpha_{1}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，且表出方式唯一；
（2）向量 $\displaystyle \alpha_{r}$ 不能由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出．

九．设 $J$ 为 $k$ 阶若当（Jordan）块，证明：
（1）存在两个 $k$ 阶对称矩阵 $\displaystyle S_{1}, S_{2}$ ，使得 $\displaystyle J=S_{1} S_{2}$ ；
（2）任一 $n$ 阶复方阵 $A$ 都可以分解为两个对称矩阵的乘积。

二．（10 分）计 算 行 列 式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccccc}1+a_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1+a_{2} & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_{3} & \cdots & 1 & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n-1} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n}\end{array}\right|$ ，其 中 $\displaystyle a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$.

五．（20 分）设 $P$ 是数域，$n$ 是正整数，数域 $P$ 上线性空间

$$
V=\{f(x) \in P[x] \mid \partial(f(x))<n\} \cup\{0\},
$$

定义 $V$ 上的一个线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一阶微商．
（1）分别求出 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ 与 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$（0）的一组基与维数；
（2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A} V \oplus \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

八．设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：
（1）$\displaystyle B-E$ 可逆，且 $\displaystyle A B=B A$ ．
（2）若 $A$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ ，使 $\displaystyle A^{k}=0$ ），则 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．

六．（20 分）设四阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求：（1）$A$ 的行列式因子，不变因子，及初等因子；（2）$A$ 的最小多项式及若尔当（Jordan）标准形．

四．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A-E)+$ 秩 $\displaystyle (A+2 E)=n$的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A+2 E$ ．