📝 山东大学 2024年数学分析真题

1．讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot n+x}{x^{2}+n^{2}}$ 的条件收敛域、绝对收敛域、一致收玫域。

2．计算第一类曲面积分： $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中曲面 $\sum$ 是左半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \leq 0$ ．

3．比较下列无穷大量。
（1）$x$ 与 $(\ln x)^{100},(x \rightarrow+\infty)$ ．
（2）$(\ln x)^{100}$ 与 $\displaystyle e^{(\ln x)^{\frac{1}{100}}},(x \rightarrow+\infty)$ ．

4．计算含参积分：$\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．

1．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{x}}$ 在 $(1,+\infty)$ 内闭一致收敛，证明： $f_{n}(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。

2．（1）证明：不等式成立 $\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ ．
（2）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 极限存在，其中

$$
a_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n .
$$

3．若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明：

$$
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x
$$

并求： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin ^{2 n} x}{\sin ^{2 n} x+\cos ^{2 n} x} \mathrm{~d} x$ ．

1．设函数 $z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，求

$$
z-x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y} .
$$

2．设二元连续可微函数 $\mathbf{F}$ 在直角坐标下可写为

$$
F(x, y)=g(y) f(x),
$$

在极坐标系可写为

$$
F(r \cos \theta, r \sin \theta)=h(r),
$$

若 $F(x, y)$ 无零点，求 $F(x, y)$ ．