📝 广西民族大学 2018年高等代数真题

一、（15 分）$\displaystyle m, p, q$ 适合什么条件时，有 $\displaystyle x^{2}+m x+1 \mid x^{4}+p x^{2}+q$ ．

七、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,3,1), \alpha_{2}=(1,2,0,1), \alpha_{3}=(-1,1,-3,0), \alpha_{4}=(1,1,1,1)$ ，（1）求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的一个极大线性无关组；（2）求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 生成的子空间的基与维数。八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \beta_{1}=(2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7)$ ，求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间的交的基与维数。

三、（ 15 分）设向量 $\displaystyle \beta=(1,2,11), \alpha_{1}=(1,1,1,1), \alpha_{2}=(1,1,-1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,1,-1)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(1,-1,-1,1)$ ，把 $\displaystyle \beta$ 表成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的线性组合。

九、（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在一组基下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4\end{array}\right)$ ，求复数域上线性空间 $V$ 的线
性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量。

二、（15 分）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cccccc}\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha\end{array}\right|=\cos n \alpha$ 。

五、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，（1）求 $A$ 的逆矩阵 $\displaystyle A^{-1}$ ；（2）求矩阵 $X$ 使得 $\displaystyle A X=B$ ．

六、（15 分）$t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 是正定的．

十、（ 15 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是线性变换 $A$ 的两个不同特征值，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是分别属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的特征向量，（1）
证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关；（2）证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量．

四、（15 分）设 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{r}$ 是互不相同的数，$\displaystyle r \leq n, a_{i}=\left(1, t_{i}, \cdots, t_{i}^{n-1}\right), i=1,2, \cdots, r$ ，证明：向量组 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ 是线性无关的．