📝 广西民族大学 2019年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ 。

2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ 。

1．（10 分） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ 。

2．（15 分） $\int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，其中 $f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ 。

二、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但在此点不可微。

八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 $S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ ，并取外侧为正。

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(f(x)-g(x))=0$ ，证明 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。

四、（15 分）求两个椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 与 $\displaystyle \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 所围公共部分面积。
1．（10 分） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin ^{2} x} d x$ 。
2．（15 分） $\displaystyle \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，其中 $\displaystyle f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ 。