📝 广西民族大学 2020年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{3}\right)^{n}}$ ．

2．计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{S} \frac{d S}{z}, \mathrm{~S}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $z=h(0<h<a)$ 所截的顶部．

3．计算 $\int_{L} x d y+y d x$ ，其中 $L:$ 沿抛物线 $y=2 x^{2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ．

4．计算 $\iint_{D}(x+y) d x d y$ ，积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq x+y\right\}$ ．

1．（i）设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 可微，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 有界．证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续．
（ii）设 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)(-\infty<a<b<+\infty)$ 可微且一致连续，试问 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 是否一定有界．

2．证明：函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在原点 $(0,0)$ 连续、存在偏导数且可微．

3．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上可微，$f^{\prime}(x)$ 单调增加且大于零．证明：当 $x \rightarrow+\infty$ 时 $f(x)$ 为正无穷大量．

1．设 $\displaystyle x_{2 n-1}=\frac{1}{n}, x_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x_{n}$ 收玫。

2．$f_{1}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t$ 。证明：$f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收玫于 0 ．