📝 河南师范大学 2024年数学分析真题

一、计算下列积分（每小题10分，共20分）
（1） $\displaystyle \int \frac{1}{1+\tan x} \mathrm{~d} x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\arctan x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．

七、（16 分）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 所确定的函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

三、（15 分）若 $\displaystyle 0<x_{1}<2$ 且 $\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left(2-x_{n}\right)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．

九、（16 分）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \ln 2$ ．

二、计算下列极限（每小题10分，共20分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x \ln (1+x)}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)+\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)+\cdots+\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．

五、（16 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，求积分

$$
I=\int_{L}^{1+y^{2} f(x y)} \frac{\mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y,}{y}
$$

其中 $L$ 是从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的直线段．

八、（16 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x), \psi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \varphi(a)=\varphi(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \varphi^{\prime}(\xi)+\varphi(\xi) \psi^{\prime}(\xi)=0$ 。

六、（16 分）把 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi}{4}, & -\pi \leq x<0 \\ \frac{4}{4}, & 0 \leq x \leq \pi\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数，并由它推出 $\displaystyle \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ ．

四、（15 分）计算积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{2 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x^{2}$ 所围成的有界闭区域。