📝 电子科技大学 2022年高等代数真题

七．（15 分）（可能有误）线性变换的矩阵 $A$ 对应的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{i}$ ．
（1）证明：存在非零特征向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle A \alpha=\lambda_{1} \alpha$ ；
（2）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{-1} A C$ 为对角阵．

三．（15 分）已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 有解，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有 $k$ 个线性无关解 $\displaystyle (k<n)$ ，证明：$\displaystyle A X=\beta$ 有 $\displaystyle k+1$ 个线性无关解，不存在 $\displaystyle k+2$ 个线性无关解．

九．（15 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ ，用矩阵方法求二次型函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$在 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 下的最大值．

二．（10 分）设 $\displaystyle \operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}|x|, & x \neq 0 ; \\ 0, & x=0 .\end{array}, D_{n}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right.$ ，其中 $\displaystyle a_{i j}=\operatorname{sgn}(i-j)$ ，求 $\displaystyle \operatorname{det}\left(D_{n}\right)$ ．

五．（15 分）设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T: A \mapsto A B-2 A^{T}, \forall A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ．
（1）求线性变换 $T$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（2）在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中找一组基，使得变换在基下的矩阵为对角阵。

八．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换．证明：
（1）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+1}$ ，则对任意正整数 $l$ ，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l}$ ；
（2）证明：存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \oplus \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$ ．

六．（15 分）设 $A$ 是 3 阶正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ．
（1）证明：-1 是 $A$ 的特征值；
（2）证明：存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=P^{T} A P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ 或 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．

四．（15 分）$A$ 为 $\displaystyle 3 \times 4$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle 4 \times 3$ 矩阵．
（1）证明：$\displaystyle \left|\lambda I_{4}-B A\right|=\lambda\left|\lambda I_{3}-A B\right|$ ；
（2）若 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=6, A B$ 每行元素之和均为 $\displaystyle 1, B A-2 I$ 不可逆，求 $\displaystyle |B A+2 I|$ ．

1．$\displaystyle A, B$ 均为 3 阶方阵，$\displaystyle |A|=5,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=4$ ，则 $\displaystyle \left|A+B^{-1}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2． 3 阶实对称矩阵按合同分类，可分为 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

3．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经过可逆线性替换化为 $\displaystyle y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．（可能有误）矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}$ ，其最小多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)(\lambda-2)^{3}, A-I$ 不可逆，则复空间 $\displaystyle V=\{B \in \left.\mathbb{C}^{5 \times 5} \mid A B=B A\right\}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

5．数域 $F$ 上 4 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 4 个不同的特征值，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的 2 维不变子空间的个数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．数域 $\displaystyle F \subseteq K$ ，那么数域 $K$ 中元关于通常元的加法与如下 $F$－数乘做成 $F$－空间：

$$
c \alpha:=c \cdot \alpha, c \in F, \alpha \in K, c \cdot \alpha \text { 为通常意义下的乘法. }
$$

另有 $\displaystyle F \subseteq K \subseteq E$ ，如果将 $K$ 视作 $F$－空间的维数为 2 ，将 $E$ 视作 $K$－空间的维数为 3 ，那么将 $E$ 视作 $F$－空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．