📝 西南财经大学 2022年数学分析真题

一、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

七、已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性及可微性．

三、求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收玫域及和函数．

二、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，
$\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．

五、讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．

八、已知曲线 $\displaystyle \Gamma:\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ ．求 $\displaystyle \Gamma$ 上点到 $\displaystyle (0,0,0)$ 点的最大值和最小值。

六、计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{4 a^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是 $\displaystyle y=-x$ 与 $\displaystyle x=\sqrt{a^{2}-(y+a)^{2}}$ 所围成的区域。

四、已知 $\displaystyle f(u, v)$ 存在二阶连续偏导数，且

$$
g(x, y)=x y-f(x+y, x-y),
$$

求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ ．