📝 陕西师范大学 2024年高等代数真题
第0题
一．（15 分）已知 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n
\end{array}\right|
$$
$\displaystyle A_{i j}$ 为 $D$ 的第 $i$ 行 $j$ 列元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，求 $\displaystyle A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1 n}$ ．
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 2 & -2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2-n & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 1-n
\end{array}\right|
$$
$\displaystyle A_{i j}$ 为 $D$ 的第 $i$ 行 $j$ 列元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，求 $\displaystyle A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1 n}$ ．
第0题
七．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在数域 $P$ 上有 $n$ 个互不相同的特征值，证明：$\displaystyle \sigma$ 的特征向量都是 $\displaystyle \tau$ 的特征向量的充要必要条件是 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．
第0题
三．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，记
$$
\beta_{1}=t_{1} \alpha_{1}+t_{2} \alpha_{2}, \beta_{2}=t_{1} \alpha_{2}+t_{2} \alpha_{3}, \cdots, \beta_{m}=t_{1} \alpha_{m}+t_{2} \alpha_{1}
$$
其中 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 为常数，求 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 满足何种关系时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 也为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．
$$
\beta_{1}=t_{1} \alpha_{1}+t_{2} \alpha_{2}, \beta_{2}=t_{1} \alpha_{2}+t_{2} \alpha_{3}, \cdots, \beta_{m}=t_{1} \alpha_{m}+t_{2} \alpha_{1}
$$
其中 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 为常数，求 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 满足何种关系时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 也为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．
第0题
九．（15 分）设 $A$ 与 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．
第0题
二．（15 分）证明复数域上的多项式
$$
f(x)=x^{n}+n x^{n-1}+(n(n-1)) x^{n-2}+\cdots+(n(n-1)(n-2) \cdots 4 \cdot 3) x^{2}+(n!) x+n!
$$
没有重根．
$$
f(x)=x^{n}+n x^{n-1}+(n(n-1)) x^{n-2}+\cdots+(n(n-1)(n-2) \cdots 4 \cdot 3) x^{2}+(n!) x+n!
$$
没有重根．
第0题
五．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$n$ 元实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\right)^{2}
$$
是正定二次型的充要必要条件是 $A$ 的秩等于 $n$ ．
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\right)^{2}
$$
是正定二次型的充要必要条件是 $A$ 的秩等于 $n$ ．
第0题
八．（15 分）已知复数域上的三阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
a & 1 & 0 \\
b & c & 1
\end{array}\right)
$$
求 $A$ 所有可能的 Jordan 标准形，并确定 $A$ 可对角化的条件．
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
a & 1 & 0 \\
b & c & 1
\end{array}\right)
$$
求 $A$ 所有可能的 Jordan 标准形，并确定 $A$ 可对角化的条件．
第0题
六．（15 分）设 $\displaystyle A=\binom{A_{1}}{A_{2}}$ 是数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 阶可逆分块矩阵，记
$$
W_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{1} X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{2} X=0\right\}
$$
证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
$$
W_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{1} X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{2} X=0\right\}
$$
证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
第0题
四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{-1}$ 的后 $\displaystyle n-r$ 行全为零．