已知 $f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x \mathrm{e}^{-x}$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
欧拉方程 $x^{2} \displaystyle\frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+4 x \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x\gt 0)$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B A}^{*}=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{*}+\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$ ．
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量 $\alpha=\displaystyle\int_{0}^{x} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t, \beta=\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{x}} \sin \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t$ 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)\gt 0$ ，则存在 $\delta\gt 0$ ，使得
设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数。下列结论中正确的是
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第1列与第2列交换得 $\boldsymbol{B}$ ，再把 $\boldsymbol{B}$ 的第2列加到第3列得 $\boldsymbol{C}$ ，则满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{C}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 为（ ）
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 的任意两个非零矩阵，则必有（）
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0\lt\alpha\lt 1)$ ，数 $u_{\alpha}$ 满足 $P\left\{X\gt u_{\alpha}\right\}=\alpha$ 。若 $P\{|X|\lt x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于（ ）
设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n\gt 1)$ 独立同分布，且其方差为 $\sigma^{2}\gt 0$ ．令 $Y=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则（）
设 $\mathrm{e}\lt a\lt b\lt\mathrm{e}^{2}$ ，证明 $\ln ^{2} b-\ln ^{2} a\gt\displaystyle\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a)$ ．
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。 现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $k=6.0 \times 10^{6}$ ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ （注： kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米／小时。）
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2 x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 是曲面 $z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
设有方程 $x^{n}+n x-1=0$ ，其中 $n$ 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 $x_{n}$ ，并证明当 $\alpha\gt 1$时，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收敛。
设 $z=z(x, y)$ 是由 $x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 确定的函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点和极值．
设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+a) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 \\
2 x_{1}+(2+a) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=0, \\
\quad \cdots \cdots \\
n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n+a) x_{n}=0,
\end{array}\right.
$$
试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对 角化．
设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(A)=\displaystyle\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\displaystyle\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，令
$$
X=\left\{\begin{array}{l}
1, A \text { 发生 }, \\
0, A \text { 不发生; }
\end{array} \quad Y=\left\{\begin{array}{l}
1, B \text { 发生, } \\
0, B \text { 不发生. }
\end{array}\right.\right.
$$
求：（I）二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
（II）$X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ．
设总体 $X$ 的分布函数为
$$
F(x ; \beta)= \begin{cases}1-\frac{1}{x^{\beta}}, & x\gt 1 \\ 0, & x \leqslant 1\end{cases}
$$
其中未知参数 $\beta\gt 1, X_{1}, \bar{X}_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，求：
（I）$\beta$ 的矩估计量；
（ II ）$\beta$ 的最大似然估计量．