微分方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\displaystyle\frac{1}{9}$ 的解为 $\_\_\_\_$ ．
设函数 $u(x, y, z)=1+\displaystyle\frac{x^{2}}{6}+\displaystyle\frac{y^{2}}{12}+\displaystyle\frac{z^{2}}{18}$ ，单位向量 $\boldsymbol{n}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(1,2,3)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间区域，$\Sigma$ 是 $\Omega$ 的整个边界的外侧，则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 均为3维列向量，记矩阵 $$ \boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+9 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right) . $$ 如果 $|\boldsymbol{A}|=1$ ，那么 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。
从数 $1,2,3,4$ 中任取一个数，记为 $X$ ，再从 $1, \cdots, X$ 中任取一个数，记为 $Y$ ，则 $P\{Y=2\}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内（ ）
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，＂$M \Leftrightarrow N$＂表示＂$M$ 的充分必要条件是 $N$＂，则必有（ ）
设函数 $u(x, y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\displaystyle\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\varphi$ 具有二阶导数，$\psi$ 具有一阶导数，则必有（ ）
设有三元方程 $x y-z \ln y+\mathrm{e}^{x z}=1$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）
设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是（ ）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^{*}, \boldsymbol{B}^{*}$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，则（ ）
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为 | $X$ | $Y$ | 0 | | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0.4 | 1 | | 1 | $b$ | $a$ | 已知随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则（ ）
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，$S^{2}$ 为样本方差，则（ ）
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},\left[1+x^{2}+y^{2}\right]$ 表示不超过 $1+x^{2}+y^{2}$ 的最大整数，计算二重积分 $\iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[1+\displaystyle\frac{1}{n(2 n-1)}\right] x^{2 n}$ 的收敛区间与和函数 $f(x)$ ．
如图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别是曲线 $C$ 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$ ．设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分
$$ \int_{0}^{3}\left(x^{2}+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x . $$
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明： （ I ）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)=1-\xi$ ； （II）存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．
设函数 $\varphi(y)$ 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $L$ 上，曲线积分 $\oint_{L} \displaystyle\frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}$ 的值恒为同一常数。
（I）证明：对右半平面 $x\gt 0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $C$ ，有
$$
\oint_{C} \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^{2}+y^{4}}=0 ;
$$
（II）求函数 $\varphi(y)$ 的表达式。
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1+a) x_{1} x_{2}$ 的秩为 2 ． （I）求 $a$ 的值； （II）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ ，把 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化成标准形； （III）求方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解。
已知 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right)$（ $k$ 为常数），且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，求线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)= \begin{cases}1, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 2 x, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$ 求：（I）$(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ ； （II）$Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n\gt 2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，记 $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$ ， $i=1,2, \cdots, n$ ．
求：（I）$Y_{i}$ 的方差 $D\left(Y_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ；
（II）$Y_{1}$ 与 $Y_{n}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$ 。
=X_{1}-\bar{X}=X_{1}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}=\left(1-\frac{1}{n}\right) X_{1}-\frac{1}{n} X_{2}-\cdots-\frac{1}{n} X_{n}$ ，因为 $X_{i} \sim N(0,1)(1 \leqslant i \leqslant n)$ 且 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立，所以 $Y_{1}$ 服从正态分布．
又因为 $E\left(Y_{1}\right)=0, D\left(Y_{1}\right)=\left(1-\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{2} D\left(X_{1}\right)+\displaystyle\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{2}\right)+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n^{2}} D\left(X_{n}\right)=\displaystyle\frac{n-1}{n}$ ，所以 $Y_{1} \sim N\left(0, \displaystyle\frac{n-1}{n}\right)$ ，同理 $Y_{i} \sim N\left(0, \displaystyle\frac{n-1}{n}\right)(1 \leqslant i \leqslant n)$ ，
于是 $D\left(Y_{i}\right)=\displaystyle\frac{n-1}{n}(1 \leqslant i \leqslant n)$ ．
方法二 因为 $X_{i} \sim N(0,1)$ ，所以 $E\left(X_{i}\right)=0, D\left(X_{i}\right)=1(i=1,2, \cdots, n)$ ，
$$
\begin{aligned}
E(\bar{X}) & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E\left(X_{i}\right)=0, \quad D(\bar{X})=\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} D\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n}, \quad E\left(\bar{X}^{2}\right)=D(\bar{X})+(E \bar{X})^{2}=\frac{1}{n} \\
E\left(Y_{i}\right) & =E\left(X_{i}-\bar{X}\right)=E\left(X_{i}\right)-E(\bar{X})=0 \\
D\left(Y_{i}\right) & =E\left(Y_{i}^{2}\right)-\left(E Y_{i}\right)^{2}=E\left(Y_{i}^{2}\right)=E\left(X_{i}^{2}-2 X_{i} \bar{X}+\bar{X}^{2}\right) \\
& =E\left(X_{i}^{2}\right)-\frac{2}{n} E\left[X_{i}\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right)\right]+E\left(\bar{X}^{2}\right) \\
& =1-\frac{2}{n} E\left(X_{i}^{2}\right)+\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}
\end{aligned}
$$
（II） $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=\operatorname{Cov}\left(X_{1}-\bar{X}, X_{n}-\bar{X}\right)$