已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t$, $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{\sin x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t$，则
设 $P=P(x, y, z), Q=Q(x, y, z)$ 均为连续函数，$\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}(x \leq 0, y \geq 0)$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d z d x=(\quad)$
已知幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln(2+x)$ ，则 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2n}=$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义， $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则
在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中，三张平面 $_i: a_i x + b_i y + c_i z = d_i (i=1,2,3)$ 位置关系如图所示，记 $\alpha_i=(a_i, b_i, c_i), \beta_i=(a_i, b_i, c_i, d_i)$ ，若 $r\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{pmatrix}=m, r\begin{pmatrix}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3\end{pmatrix}=n$ ，则
设向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{pmatrix}, \alpha_3=\begin{pmatrix}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$ ，若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则
3阶矩阵 $A$ 的秩为 2 ，非零向量 $\alpha$ 满足 $A\alpha=0$ ，任意向量 $\beta$ ，使得 $\beta^T \alpha=0$ ，且 $A\beta=\beta$ ，则下列结论正确的是
设随机变量 X 与 Y 独立， X 服从 $\mathrm{N}(0,2)$ 的正态分布， Y 服从 $\mathrm{N}(-2,2)$ 的正态分布，若 $\mathrm{P}\{2 \mathrm{X}+\mathrm{Y}\lt\mathrm{a}\}=\mathrm{P}\{\mathrm{X}\gt\mathrm{Y}\}$ ，则 $\mathrm{a}=$
设陋机交量 X 的概率密度为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{ll}2(1-\mathrm{x}), & 0\lt\mathrm{x}\lt 1 \\ 0, & \text { 其佁 }\end{array}\right.$ ，在 $\mathrm{X}=\mathrm{x}$ 的条件下， Y 在区间 $(\mathrm{x}, 1)$ 上馭从均匀分布，则 $\operatorname{cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=$
设随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 相互独立，且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，令 $\mathrm{Z}=|\mathrm{X}-\mathrm{Y}|$ ，则下列随机变量与 Z 同分布的是
若 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\left(1+ax^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$ ，则 $a=$
$z=f(u, v)$ 有二阶连续导数，$\left.\mathrm{d} f\right|_{(1,1)}=3 \mathrm{~d} u+4 \mathrm{~d} v$ ，
$$
y=f\left(\cos x, 1+x^{2}\right) \text {, 则 }\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=
$$
根据题目开头信息，这应该是2024年考研数学一第13题填空题，原题内容可能如下（根据常见傅里叶级数题型补全）：
若函数 $f(x)=x+1$ ．若 $f(x)=\displaystyle\frac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x$ ，$x \in[0, \pi]$ ．则 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \sin a_{2n-1}=$ __________．
设实矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}a+1 & a \\ a & a\end{array}\right)$ ，若对任意实向量 $\alpha=\binom{x_1}{x_2}, \beta=\binom{y_1}{y_2}$ ， $\left(\alpha^T A \beta\right)^2 \leq \alpha^T A \alpha \cdot \beta^T A \beta$ 都成立，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$
随机试验每次成功的概率为 P ，现进行三次独立重复实险，已知至少成功一次的条件下全部成功概率为 $\displaystyle\frac{4}{13}$ ，现 $\mathrm{P}=$
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{1-y^{2}} \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1\right\}$ ，计算 $\iint_{D} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} \sigma$ ．
设 $\mathrm{f}(\mathrm{X}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{y}^{3}-(\mathrm{x}+\mathrm{y})^{2}+3$ ，曲面 $\mathrm{z}=\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 在 $(1,1,1)$ 处的切平面为 $\mathrm{T}, \mathrm{T}$ 与三个坐标面所围有界区域在 xoy 面的设影为 D （1）求 T 的方程 （2）求 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$ ，证明： （1）当 $x \in(0,1)$ 时，$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \displaystyle\frac{x(1-x)}{2}$； （2）$\left|\displaystyle\int_0^1 f(x) d x-\displaystyle\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \displaystyle\frac{1}{12}$
根据题目开头信息，这应是一道完整的解答题，通常考研数学解答题只有一问。因此补全后的完整题目如下：
已知有向曲线 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 x$ 与平面 $2 x-z-1=0$ 的交线从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分 $\displaystyle\int_{L}\left(6 x y z-y z^{2}\right) d x+2 x^{2} z d y+x y z d z$。
21．已知数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\},\left\{z_n\right\}$ 满足 $x_0=-1, y_0=0, z_0=2$ ，且 $\left\{\begin{array}{l}x_n=-2 x_{n-1}+2 z_{n-1}, \\ y_n=-2 y_{n-1}-2 z_{n-1}, \\ x_n=-6 x_{n-1}-3 y_{n-1}+3 z_{n-1},\end{array}\right.$记 $\boldsymbol{\alpha}_n=\left(x_n, y_n, z_n\right)^{\mathrm{T}}$ ．写出满足 $\boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{n-1}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，并求 $\boldsymbol{A}^n$ 及 $x_n, y_n, z_n$ ．
设总体 $X \sim U(0, \theta), ~ \theta$ 木知，$X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}$ 为简单掋机样本， $X_{(n)}=\max \left(X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}\right), \quad T_{c}=c X_{(n)}$. （1）求 $c$ 时，使得 $T_{c}$ 为 $\theta$ 的无偏估计。 （2）记 $h(c)=E\left(T_{e}-\theta\right)^{2}$ ，求 $c$ 使得 $h(c)$ 取最小值．