当 $x \rightarrow 0$ 时， $\displaystyle\int_{0}^{x^{2}}\left(\mathrm{e}^{t^{3}}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $x^{7}$ 的（ ）。
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处（ ）．
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a\gt 0)$ 有两个零点，则 $\displaystyle\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）。
设函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f\left(x+1, \mathrm{e}^{x}\right)=x(x+1)^{2}, f\left(x, x^{2}\right)=2 x^{2} \ln x$ ，则 $\mathrm{d} f(1,1)=()$ ．
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)$ 为4阶正交矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\alpha}_{3}^{\mathrm{T}}\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 表示任意常数，则线性方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解 $\boldsymbol{X}=(\quad)$ ．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ，若存在下三角可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和上三角可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$为对角矩阵，则 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ 可以分别取（ ）。
设 $A, B$ 为随机事件，且 $0\lt P(\mathrm{~B})\lt 1$ ，下列命题中为假命题的是（）。
设 $\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ 为来自总体 $N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)$ 的简单随机样本，令 $\theta=\mu_{1}-\mu_{2}, \bar{X}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}, \bar{Y}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} Y_{i}, \hat{\theta}=\bar{X}-\bar{Y}$ ，则（ ）。
设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\displaystyle\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\displaystyle\frac{1+\theta}{4}$ ，利用来自总体的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$ 可得 $\theta$ 的最大似然估计值为（）。
若 $y=\cos \mathrm{e}^{-\sqrt{x}}$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{\sqrt{5}}^{5} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{\left|x^{2}-9\right|}} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \sin \pi x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $x$ 轴围成，则 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^{3}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$ ．
甲，乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一个球，令 $X, Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 $X$与 $Y$ 的相关系数为 $\_\_\_\_$
已知 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left[a \arctan \displaystyle\frac{1}{x}+(1+|x|)^{\displaystyle\frac{1}{x}}\right]$ 存在，求 $a$ 的值．
设有界区域 $D$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和直线 $y=x$ 以及 $x$ 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分 $\iint_{D} \mathrm{e}^{(x+y)^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
设 $n$ 为正整数，$y=y_{n}(x)$ 是微分方程 $x y^{\prime}-(n+1) y=0$ 的满足条件 $y_{n}(1)=\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}$的解． （I）求 $y_{n}(x)$ ； （II）求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} y_{n}(x)$ 的收敛域及和函数．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b\end{array}\right)$ 仅有两个不同的特征值，若 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角矩阵，求 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵．
在区间 $(0,2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为 $X$ ，较长一段的长度记为 $Y$ ，令 $Z=\displaystyle\frac{Y}{X}$ ． （I）求 $X$ 的概率密度； （II）求 $Z$ 的概率密度； （III）求 $E\left(\displaystyle\frac{X}{Y}\right)$ ．