定积分与反常积分

1．下列不等式中正确的是（ ）．

2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ ．

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x}$ ．

2． $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}} d x}$ ．

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=}$

3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin t d t}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

1．计算由曲线 $y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．

1．反常积分 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x}$ 收敛，则（ ）．

2．假设 $f(x), g(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数，那么两个函数对应的曲线 $y=f(x)$ ，suo $y=g(x)$在区间 $[a, b]$ 所夹部分的面积的正确表达为（ ）．

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=}$

2．已知一辆汽车的速度 $v$ 与时间 $t$ 的关系为 $v=e^{-\frac{t}{2}}$ ，那么汽车从 $t=0$ 到 $t=1$ 行驶的距离为 $\_\_\_\_$ ．

1．下列不等式中正确的是（ ）．

2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x} t^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$

5．下面积分，一定与 $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) d x}$ 相等的是（ ）．

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2 x \mathrm{~d} x}$ ．

2． $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}$ ．

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$ ．

3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x^{2}}(1+t)^{2} d t}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。

1．计算由曲线 $y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

1．下列哪个积分的值是正的？

2．假设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=0$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{x} f^{\prime}(2 t) \mathrm{d} t=}$

3．下列关于定积分的性质说法错误的是

8．函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)+\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 的定义域是 ．

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\ln 2} x e^{-x} \mathrm{~d} x}$ ．

2． $\displaystyle{\int_{0}^{1} x\left(2-x^{2}\right)^{12} \mathrm{~d} x}$

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$。

3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{\sin x} t^{2} d t}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。

6． $\displaystyle{\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sin (x y)}{x}=}$ $\_\_\_\_$ ．

7．若 $\displaystyle{\int f(x) \mathrm{d} x=x \sin x+C}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$

1．计算由曲线 $y=\operatorname { s i n } x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=\frac{\pi}{2}$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．

1．下列不等式中正确的是 。

2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ ．

7．已知积分 $\displaystyle{\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=-2}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=}$

1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x}$ ；

2． $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}} d x}$ ．

1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$。

3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin t d t}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。

7．假设 $f(x)$ 为区间 $[-a, a]$ 上的连续奇函数，那么 $\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$。

1．下列定积分中，最大个的是 ．

2．极限 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+i^{2}}}$ 可以通过下面哪个积分计算？ ．

3．已知连续函数 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(2 x) d x=}$ ．

1．求曲线 $x y=4$ ，直线 $y=1, y=2$ 和 $y$ 轴所围成的图形绕 $y$ 轴旋转构成的旋转体的体积；

1． $\displaystyle{\int_{0}^{1}(2 x-1)^{2024} \mathrm{~d} x}$ ；

3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{1+t} d t}$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．关于定积分，下列说法错误的是 ．

1． $\displaystyle{\int_{\frac{2}{3}}^{2}(3 x-2)^{2025} \mathrm{~d} x}$

2． $\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{\mathrm{~d} x}{x(1+\ln x)}}$

3． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \mathrm{~d} x}$

1．假设 $\displaystyle{f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t}$ ，那么 $f^{\prime}(2)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．已知 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$。

1．求由曲线 $x y=1$ 及直线 $y=x$ 和 $y=2$ 所围成的平面图形的面积．