三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）

### 第108题 将直角坐标系下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

## 第108题 (高等数学 - 填空题) 将直角坐标系下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

## 第110题 (高等数学 - 填空题) 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设曲面 $\Sigma$ 是由直线段 $$ L:\left\{\begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}}{2} t-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2} t+\frac{\sqrt{2}}{2},(t \in[0,1]) \\ z=t $\end{array}\right.$ $$ 挄 $z$ 轴旋转而得。 $\Omega$ 是 $\Sigma$ 与平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体，其体密度为 $\displaystyle \mu(x, y, z)=\frac{z}{1+x^{2}+y^{2}}$ ，求： （1）曲面 $\Sigma$ 的直角坐标方程； （2）$\Omega$ 的质量．

### 第258题 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．

## 第258题 (高等数学 - 选择题) 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．

### 第259题 累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．

## 第259题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．