二次型的矩阵表示（对称矩阵）

### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似，则常数 $k$ 的取值范围为（ ）。 （A）$k>0$ 且 $k \neq 2$ （B）$k>0$ 且 $k \neq 3$ （C）$k<0$ 且 $k \neq-2$ （D）$k<0$ 且 $k \neq-3$

### 【强化篇】第11题（选择题） 11．设 4 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{4}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{A})=(\quad)$ 。 （A） 0 （B） 0 或 1 （C） 1 或 2 （D） 2 或 3

### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，满足 $\displaystyle \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r(\boldsymbol{A})=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第15题（解答题） 15．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$ ．

### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $A=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}(\quad)$ 。 （A）不相似且不合同 （B）相似但不合同 （C）不相似但合同 （D）相似且合同

### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和为 3 ，则二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 在 $\boldsymbol{x}=x_{0}= [1,1,1]^{\mathrm{T}}$ 处的值 $f(1,1,1)=x_{0}^{\mathrm{T}} A x_{0}=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$r(\boldsymbol{A})=r$ ，且满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}, f(x)=x^{2}-2 x-3$ ，求 $|f(\boldsymbol{A})-6 \boldsymbol{E}|$ ．