📝 清华大学 2023年强基真题

已知点 $\displaystyle \mathrm{M}(8,1)$ ，过点 $\displaystyle \mathrm{N}(1,0)$ 的直线 1 上有一个动点 P ，则 $\displaystyle |P N|+2|P M|$ 的最小值为（ ）。

现有 2 面红旗、 2 面黄旗、 2 面蓝旗，除颜色外完全相同。从这些旗子中取出若干面（至少 1 面）从上到下悬挂在同一旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同的信号序列共有 种。

的自然数，计算 $\displaystyle a+b$ 的结果告诉甲，计算 $\displaystyle a b$ 的结果告诉乙。甲说：＂虽然我不知道是哪两个数，但是肯定乙也不知道。＂乙说：＂本来我不知道，但是听到甲说这句话，现在我知道了。＂甲说：＂现在我也知道了＂。可以推断的是 。

$\displaystyle p, q$ 都为质数，$\displaystyle p$ 可以整除 $\displaystyle 7 q+1, q$ 可以整除 $\displaystyle 7 p+1$ ，问有 组 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle q$ 。

袋子里有 11 个黑球 9 个红球，每次拿一个，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率。

三个复数的模分别为 $\displaystyle 1,5,5 \sqrt{2}$ ，且这三个复数的实部虚部均为整数，则三个复数的乘积可能有 个值。

数列 $\displaystyle \mathrm{a}_{n}$ 满足 $\displaystyle \mathrm{a}_{1}=\frac{3}{2}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=x^{\mathrm{a}_{n}}$ ，求使该数列 $\displaystyle \left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 有极限的 x 的最大值 。

$\displaystyle \frac{4}{\mathrm{x}+1}+\frac{9}{\mathrm{x}+2}+\frac{16}{\mathrm{x}+3}=(4 x+5)(2-x)$ 有几个正实数解？

$\displaystyle \left|Z_{1}+Z_{2}\right|+\left|Z_{1}-Z_{2}\right| \leq\left|Z_{1}\right|+\left|Z_{2}\right|+\lambda \max \left\{\left|Z_{1}\right| \cdot\left|Z_{2}\right|\right\}$ ，求 $\displaystyle \lambda$ 最值。

已知 $\displaystyle M$ 为 $\displaystyle (3,0), N(1,0), l$ 过 $\displaystyle N$ 且 $\displaystyle k$ 为 $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}, P$ 为 $\displaystyle l$ 上一点，求 $\displaystyle 2|P M|+|P N|$ 最值。