📝 厦门大学 2023年强基真题

变换 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$ 将复平面 $\displaystyle (z=x+y i)$ 上的直线 $\displaystyle x=1$ 变换为 $\displaystyle w$ 平面 $\displaystyle (w=p+q i)$ 上的曲线 $\displaystyle C$ ，则曲线 $\displaystyle C$ 围成的面积是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 上任取 2 个数，则两数之和小于 0.4 的概率是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

若椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的内接等腰三角形 $\displaystyle A B C$ 的底边平行于 $\displaystyle x$ 轴，则 $\displaystyle \triangle A B C$ 的面积最大值是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi x}{4}, g(x)=\frac{1}{x-8}$ ，则方程 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 在区间 $\displaystyle [-4,20]$ 上所有的根的和 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle m, n$ 为整数，若二元函数 $\displaystyle f(m, n)$ 满足 $\displaystyle 4 f(m, n)=f(m+1, n)+f(m-1, n)+f(m, n+1)+f(m, n-1)$ 则称 $\displaystyle f(m, n)$ 为兔函数，下列是兔函数的有 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （1）$\displaystyle f(m, n)=m^{2}-n^{2}$ ；（2）$\displaystyle f(m, n)=\left\{\begin{array}{l}(-1)^{m}, m=n \\ 0, m \neq n\end{array}\right.$ ；（3）$\displaystyle f(m, n)=\mathrm{e}^{n b} \sin \frac{m \pi}{2}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{e}^{b}+\mathrm{e}^{-b}=4$ 。

已知正整数 $\displaystyle a, b$ 互素，判断 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 和 $\displaystyle a b$ 是否互素。

已知 $\displaystyle x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n+2}=\sqrt{2} x_{n+1}-x_{n}$ ，则 $\displaystyle x_{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ，前2023项和是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

从 1 到 100 中至少取 $\displaystyle \_\_\_\_$个数才能保证一定存在 2 个数互素。