3.4 与导数有关的极限

1．设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{g\left(x_{0}\right) f(x)-g(x) f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\alpha t\right)-f\left(x_{0}+\beta t\right)}{t}, \alpha \neq 0, \beta \neq 0$

2．设函数 $\displaystyle f$ 在点 $\displaystyle a$ 处具有二阶导数，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a)$ ．

3．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=A$ ．求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)=A$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3 x)-f(x)}{x}=A$ 。求证：$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，并且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2} A$ ．
（3）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0, \lambda>1$ 且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x / \lambda)}{x}=0$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
（4）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：若存在 $\displaystyle \alpha>0, \beta>0, \alpha>\beta$ ，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}=c(c \in \mathbf{R}$ 为常数），则 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的右导数存在．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可微，$\displaystyle \alpha_{n}<x_{0}<\beta_{n},(n=1,2, \cdots), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=x_{0}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\beta_{n}\right)-f\left(\alpha_{n}\right)}{\beta_{n}-\alpha_{n}}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$. ．

4．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=l$ 。求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=l$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{1+x^{2}}=0$ ．

5．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=l>0$ ，试证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（2）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 可微，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+2 f^{\prime}(x)\right)=0$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)=k$ 。则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)=0, g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ ．证明

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{-x} \int_{1}^{x} g(t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 . \text { }
$$

（6）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sup \left|f(x)+f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<+\infty$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sup |f(x)| \leqslant M$ ．

6．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有直到 $\displaystyle n$ 阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(n)}(x)=B$ ．证明：

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(k)}(x)=0, k=1,2, \cdots, n . }
$$

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{(3)}(x)$ 都存在且有限．证明：

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0 \text {. }
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界可微，试问下列命题中哪个必定成立（要说明理由），哪个不成立（举反例）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=0$ 蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在蕴含 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。

8．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．求证：$\displaystyle (a,+\infty)$ 内存在一个单调数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\}$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ 当且仅当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{f(x)}{x}=0$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)$ 存在且有限，求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ．
（4）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty$ ，求证：存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \subset(a, b)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)\right|=\infty$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可微且有界，证明：存在一个数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．

9．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上二次连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界。证

明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上具有二阶连续导数的正函数，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, x \in(0,+\infty), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界。则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。

10．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle x^{2}\left|g^{\prime}\left(x^{3}\right)\right|<\frac{1}{3} f^{\prime}(x)$ 。求证：当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)$ 存在．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且满足 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$ ．求证：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f\left(n^{-1}\right)$ 存在．

11．证明下列结论．
（1）证 明 ：当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，存在 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使 得 $\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ．并 证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle a$ 附近有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a) \neq 0, f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a+\theta h) h$ ，试证： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{2}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x+h)=f(x)+f^{\prime}(x) h+\cdots+\frac{h^{n}}{n!} f^{(n)}(x+\theta h), 0<\theta<1$ ，且 $\displaystyle f^{(n+1)}(x) \neq 0$ 。证 明： $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{n+1}$ ．（武汉理工 2002（ $\displaystyle n=3$ ））
（4）设 $\displaystyle h>0$ ，函数 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle U(a ; h)$ 内具有 $\displaystyle n+1$ 阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0$ ， $\displaystyle f^{(n)}(a) \neq 0$ ．由中值定理，$\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta h) h, \theta \in(0,1)$ ．证明 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．
（5）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x^{2}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（6）设 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，证明：存在唯一 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta(x) x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=1$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非负、严格递增的连续函数，$\displaystyle F_{n}(x)=f^{n}(x)$ ，由中值定理，$\displaystyle \exists \theta_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle F_{n}\left(\theta_{n}\right)=\int_{0}^{1} F_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \theta_{n}=1$ 。

12．设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的二阶连续可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{k} f(u)}{f(x) \sin ^{k} u}$ ，其中 $\displaystyle u$ 是曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle P(x, f(x))$ 处的切线在 $\displaystyle x$ 轴上的截距．$\displaystyle (k=2$ ：北京科技 2013，中南大学 $\displaystyle 2013 ; k=1$ ：南航 2000）