📝 东北大学 2025年高等代数真题
第0题
1．计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 2 & & & \\
-2 & 2 & 2 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & -2 & 2 & 2 \\
& & & -2 & 2
\end{array}\right|
$$
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 2 & & & \\
-2 & 2 & 2 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & -2 & 2 & 2 \\
& & & -2 & 2
\end{array}\right|
$$
第0题
2．设 $S_{1}, S_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-z-2 w=0 ; \\ y+2 z+w=0 .\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}3 x+6 y+z=0 ; \\ 6 x+13 y-w=0 .\end{array}\right.$ 的解空间．
（1）求两个齐次线性方程组的通解．
（2）求 $S_{1}+S_{2}$ 与 $S_{1} \cap S_{2}$ 的基与维数．
（1）求两个齐次线性方程组的通解．
（2）求 $S_{1}+S_{2}$ 与 $S_{1} \cap S_{2}$ 的基与维数．
第0题
3．设 $\mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的一个线性变换，满足
$$
\begin{gathered}
\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=-3 \varepsilon_{1}-a \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+15 \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=\varepsilon_{1}-b \varepsilon_{2}+30 \varepsilon_{3} \\
\mathscr{A}\left(\eta_{1}\right)=6 \eta_{1}, \mathscr{A}\left(\eta_{2}\right)=12 \eta_{2}, \mathscr{A}\left(\eta_{3}\right)=c \eta_{3}
\end{gathered}
$$
其中 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 分别是 $V$ 的两组基．
（1）求参数 $a, b, c$ 的值．
（2）求基 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 到 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 的过渡矩阵。
$$
\begin{gathered}
\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=-3 \varepsilon_{1}-a \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+15 \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=\varepsilon_{1}-b \varepsilon_{2}+30 \varepsilon_{3} \\
\mathscr{A}\left(\eta_{1}\right)=6 \eta_{1}, \mathscr{A}\left(\eta_{2}\right)=12 \eta_{2}, \mathscr{A}\left(\eta_{3}\right)=c \eta_{3}
\end{gathered}
$$
其中 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 分别是 $V$ 的两组基．
（1）求参数 $a, b, c$ 的值．
（2）求基 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 到 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 的过渡矩阵。
第0题
4．设 $V$ 是 3 维欧氏空间，其一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵为
$$
\left(\begin{array}{lll}
5 & a & 4 \\
a & 1 & 2 \\
4 & 2 & 5
\end{array}\right)
$$
（1）求 $a$ 的值．
（2）求该欧氏空间的一组标准正交基．
$$
\left(\begin{array}{lll}
5 & a & 4 \\
a & 1 & 2 \\
4 & 2 & 5
\end{array}\right)
$$
（1）求 $a$ 的值．
（2）求该欧氏空间的一组标准正交基．
第0题
5．设 $A$ 是复数域上的方阵，$A$ 的全部初等因子为 $(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2}, \lambda+3, \lambda+3,(\lambda+2 \mathrm{i})^{2},(\lambda-2 \mathrm{i})^{2}$ ．
（1）求 $A$ 的特征多项式在实数域上的标准分解式．
（2）求 $A$ 的所有不变因子和所有行列式因子．
（1）求 $A$ 的特征多项式在实数域上的标准分解式．
（2）求 $A$ 的所有不变因子和所有行列式因子．
第0题
6．已知实二次型 $f=a x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 的符号差为 2 ．
（1）求 $a$ 的值．
（2）用正交线性替换的方法化二次型为标准形，并写出正交线性替换．
（1）求 $a$ 的值．
（2）用正交线性替换的方法化二次型为标准形，并写出正交线性替换．
第0题
7．设 $A$ 是实数域上的 $n \times n$ 矩阵。证明：$A^{2}+A^{T} A=O$ 的充要条件是 $A$ 是实反称矩阵．
第0题
8．设 $A$ 是复数域上的 $n \times n$ 矩阵。证明：
（1）$A$ 与 $A^{T}$ 有相同的特征值．
（2）$A$ 与 $A^{T}$ 的特征子空间的维数相同．
（3）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=A^{T} P$ ．
（1）$A$ 与 $A^{T}$ 有相同的特征值．
（2）$A$ 与 $A^{T}$ 的特征子空间的维数相同．
（3）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=A^{T} P$ ．
第0题
9．设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，线性方程组 $A X=\beta$ 有解．证明：
（1）$A X=\beta$ 线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1$ ．
（2）设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$ ，则 $k \leq r(A)$ ．（特征值重根按重数计算）
（1）$A X=\beta$ 线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1$ ．
（2）设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$ ，则 $k \leq r(A)$ ．（特征值重根按重数计算）
第0题
10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明：
（1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ．
（2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ．
（3）$A$ 是可逆矩阵．
（1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ．
（2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ．
（3）$A$ 是可逆矩阵．