📝 北京工业大学 2021年数学分析真题

一．求极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{a}} \sum_{k=1}^{n} k^{a-1}, a>1
$$

七．证明：函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 连续，对任意 $\displaystyle n \in \mathbb{N}_{+}, u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 单调，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．

三．函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b], t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{n}=1, t_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得

$$
f(\xi)=t_{1} f\left(x_{1}\right)+t_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+t_{n} f\left(x_{n}\right)
$$

九．证明：

$$
\frac{61}{165} \pi \leq \iint_{D} \sin \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \leq \frac{2}{5} \pi
$$

其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leq 1$ ．

五．证明：函数 $\displaystyle f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}, a_{n} \neq 0, f^{k}(a) \geq 0,(k=0,1, \cdots, n)$ ，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上无零点．

八．求函数

$$
f(x, y, z)=\ln x+2 \ln y+3 \ln z
$$

在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$ 上的最大值．

六．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上满足：$\displaystyle x, y \in[0,1]$ ，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq|x-y|$ ，则

$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n}
$$

十．计算

$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x, b>a>0
$$

四．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，则

$$
f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]
$$