📝 北京工业大学 2022年数学分析真题

一．（15 分）用数列极限定义证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$（ $A$ 为实数或 $\displaystyle A=+\infty$ ），则

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=A
$$

七．（15 分）计算

$$
I=\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle \Sigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ ．

三．（15 分）用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明：有限闭区间上的连续函数必一致连续．

九．（15 分）计算

$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}+k}
$$

二．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)<f_{-}^{\prime}(b)$ ，证明：对 $\displaystyle \eta \in\left(f_{+}^{\prime}(a), f_{-}^{\prime}(b)\right)$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\eta$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ ．

八．（15分）计算

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan a x-\arctan b x}{x} \mathrm{~d} x(a \geq b>0)
$$

六．（15 分）利用偏导数求函数 $\displaystyle z=x y+\frac{4}{x}+\frac{2}{y}$ 的极值．

十．（ 15 分）证明：

$$
\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{1} \frac{h}{h^{2}+x^{2}} e^{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}
$$

四．（15 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于和函数 $\displaystyle S(x)$ ，证明： $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．