📝 北京科技大学 2023年高等代数真题

一．（15 分）计算行列式

$$
\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\
x_{1}\left(x_{1}-2\right) & x_{2}\left(x_{2}-2\right) & x_{3}\left(x_{3}-2\right) & \cdots & x_{n}\left(x_{n}-2\right) \\
x_{1}^{2}\left(x_{1}-2\right) & x_{2}^{2}\left(x_{2}-2\right) & x_{3}^{2}\left(x_{3}-2\right) & \cdots & x_{n}^{2}\left(x_{n}-2\right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1}^{n-1}\left(x_{1}-2\right) & x_{2}^{n-1}\left(x_{2}-2\right) & x_{3}^{n-1}\left(x_{3}-2\right) & \cdots & x_{n}^{n-1}\left(x_{n}-2\right)
\end{array}\right| .
$$

七．（ 15 分）证明：$\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 无重根．

三．（20分）已知矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & 2 \\
-2 & 6 & 4
\end{array}\right)
$$

$\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的所有 $\displaystyle n \times 5$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle W=\left\{B \in \mathbb{R}^{n \times 5} \mid B A=O\right\}$ ，其中 $O$ 为零矩阵．
（1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 的子空间；
（2）求 $W$ 的一组基和维数．

九．（15 分）已知 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n>1), A=\alpha \beta^{T}$ ．
（1）求 $A$ 的最小多项式；
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．

二．（15 分）已知

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 3 & a \\
0 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
3 & 5 & 1
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}
4 \\
2 \\
1 \\
b
\end{array}\right) .
$$

问：$\displaystyle a, b$ 取何值时，方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无穷多解，有唯一解，无解，并求无穷多解时的通解．

五．（20 分）$\displaystyle P^{2 \times 2}$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle 2 \times 2$ 方阵构成的线性空间．令 $\displaystyle \sigma: P^{2 \times 2} \rightarrow P^{2 \times 2}$ ，对任意的 $\displaystyle X \in P^{2 \times 2}$ ，有 $\displaystyle \sigma(X)=A X B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的表示矩阵。
（3）是否存在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的某组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵？存在的话，求出基和对应的对角阵。

八．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$B$ 为 $m$ 阶复方阵，且存在秩为 $r$ 的矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X=X B$ ，其中 $\displaystyle 1 \leq r \leq \min \{n, m\}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（重根按重数计算）．

六．（20 分）$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性反称变换，即对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)+(\alpha, \sigma(\beta))=0$ ，其中 $\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示欧氏空间的内积。证明：存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\displaystyle \sigma^{2}$ 在此组基下的矩阵为对角阵。

四．（15 分）设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ 为实系数二次型，实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1$（二重）， $\displaystyle \lambda_{2}=-1$（二重）．且 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \varepsilon_{2}=(1,1,0,1)^{\prime}$ 为属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1$ 的特征向量．求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 的表达式。