📝 华东理工大学 2026年高等代数真题

(1):\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=0 \\
x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right.
$$

又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为

$$
\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
2 \\
1
\end{array}\right)
$$

求方程组（1）与（2）的公共解．

七．设

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & b \\
0 & \omega & c \\
0 & 0 & \omega^{2}
\end{array}\right)
$$

其中 $\displaystyle a, b, c$ 为任意数，$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ，求 $\displaystyle A^{100}$ 及 $\displaystyle A^{-1}$ ．

三．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为不同的 $n$ 维实列向量，若 $\displaystyle \|\alpha\|=\|\beta\|$ ，证明：存在 $n$ 阶方阵 $\displaystyle H=I_{n}-2 u u^{\prime}$ ，使得 $\displaystyle H \alpha=\beta$ ，其中 $u$ 为某个单位向量．

九．设 $A$ 为 $n$ 阶正定对称矩阵，$n$ 维实列向量组 $\displaystyle \alpha, \beta$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta>0$ ，求证：

$$
H=A-\frac{A \beta \beta^{\prime} A}{\beta^{\prime} A \beta}+\frac{\alpha \alpha^{\prime}}{\alpha^{\prime} \beta}
$$

是正定矩阵．

二．设 $\displaystyle n(n>2)$ 阶行列式 $D$ 所有元素为 1 或 -1 ，求证：$D$ 的绝对值 $\displaystyle |D| \leq(n-1)!(n-1)$ ．

五．设

$$
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \alpha_{2}=(0,1,1,0)^{\prime}, \alpha_{3}=(0,0,1,1)^{\prime} \\
& \beta_{1}=(1,0,1,0)^{\prime}, \beta_{2}=(0,2,1,1)^{\prime}, \beta_{3}=(1,2,1,2)^{\prime}
\end{aligned}
$$

求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 所生成的两个线性空间的和与交的维数与一组基．

八．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两组向量．证明：若

$$
\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, m
$$

则由向量组生成的子空间 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 与 $\displaystyle L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 同构．

六．设 $M$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，$\displaystyle A=f(M), B=g(M), W, W_{1}, W_{2}$ 分别为方程组 $\displaystyle A B X=0, A X=0, B X=0$ 的解空间．若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 互素，求证：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

十．判定实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 是否正定．

四．设四元齐次线性方程组

$$
(1):\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=0 \\
x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right.
$$

又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为

$$
\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
2 \\
1
\end{array}\right)
$$

求方程组（1）与（2）的公共解．