📝 南京师范大学 2018年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ：

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ；

3．设 $u(x)=\sin x, v(x)=e^{x}$ ，求 $d^{2}(u v)$ ；

4． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x$ ；

5．设 $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛。
（1）若 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）若将（1）中的 $\displaystyle f(x)$ 单调改为 $\displaystyle f(x)>0(x \in[a,+\infty])$ ，是否还有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ？如果是，请给出证明；如果不是，请给出反例．

八、（15 分）计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d z$ ．其中 $L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向。

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是仅有正实根的多项式，$\displaystyle -\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ ．证明 $\displaystyle \lim _{n} \frac{c_{n}}{c_{n+1}}, \lim _{n} \frac{1}{\sqrt[n]{c_{n}}}$ 都存在且等于 $\displaystyle f(x)$ 的最小根。

四、（15 分）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散。
（2）数列 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n} \quad(n=1,2, \cdots)$ 收敛．