📝 哈尔滨工业大学 2011年数学分析真题

一．（15 分）设 $\displaystyle a, x_{1}$ 为正实数．对 $\displaystyle n \geqslant 2$ ，定义数列

$$
x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right),
$$

证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在且不依赖于 $\displaystyle x_{1}$ 的选取．

七．（15 分）（1）判断

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}{4 \cdot 6 \cdots(2 n+2)}
$$

的玫散性．
（2）求

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots(2 n)}{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}\left(\frac{1}{2} x-3\right)^{n}
$$

的收玫域．
（3）判断

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \int_{n}^{n+1} \frac{\ln (x+7)}{x} \mathrm{~d} x
$$

的敛散性（绝对收敛，条件收敛或发散）．

三．（20分）设 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 为一列非空有界闭区间序列满足 $\displaystyle S_{1} \supset S_{2} \supset \cdots \supset S_{n} \supset \cdots$ ．利用 Bolzano－Weierstrass 致密性定理和 Heine－Borel 有限覆盖定理分别证明

$$
\bigcap_{n=1}^{\infty} S_{n} \neq \varnothing .
$$

九．（10 分）设 $n$ 元函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$ 有连续的二阶偏导函数．记 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ccc}f_{11} & \cdots & f_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n 1} & \cdots & f_{n n}\end{array}\right)$ 为 $f$ 的 Hessian 矩阵．若 $\displaystyle \vec{u}$ 为单位行向量，$\displaystyle \vec{u}^{\prime}$ 表示 $\displaystyle \vec{u}$ 的转置，判断 $\displaystyle \vec{u} H \vec{u}^{\prime}$ 与 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{u}$ 的二阶方向导数的关系并加以证明．

二．（15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 定义证明二元函数

$$
f(x, y)=\frac{x}{y}
$$

在 $\displaystyle \{(x, y): x, y \in \mathbb{R}, y \neq 0\}$ 上连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足：
（1）$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且非负， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ；
（2）$\displaystyle \forall \delta \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta]$ 和 $\displaystyle [\delta, 1]$ 上都一致收敛于 0 ．
证明对 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0)
$$

八．（15 分）证明对 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 适当加括号以后，把每个括号内算一项，可使新级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} F_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, \pi-\delta]$ 上绝对且一致收敛，这里 $\displaystyle 0<\delta<\frac{\pi}{2}$ ．

六．（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明

$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x
$$

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，$\displaystyle f(a)=0$ ．记 $\displaystyle g(x)=\int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ ．证明：
（i）

$$
\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ;
$$

（ii）

$$
\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x
$$

十．（15 分）（1）计算

$$
\int_{\overrightarrow{A B C}}\left(x^{2}+10 x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(5 x^{2}+5 x y\right) \mathrm{d} y
$$

其中 $\displaystyle A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ ．
（2）设

$$
g(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
$$

计算 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial g}{\partial \vec{n}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $S$ 为以原点为中心的任一球面，$\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \vec{n}}$ 为 $g$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 的方向导数．
（3）设

$$
\vec{F}(x, y, z)=\frac{-y \vec{i}+x \vec{j}}{x^{2}+y^{2}}
$$

在除 $z$ 轴外均有定义。计算 $\displaystyle \int_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}$ ，其中 $\displaystyle \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, C$ 为以 $z$ 轴上点为圆心的平行于 $\displaystyle x o y$ 平面的圆周，从 $z$ 轴上方无穷远处看 $C$ 为逆时针方向。

四．（15 分）判断＂若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，但无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界＂这个命题及其逆命题的正确性，正确请加以证明，错误举一反例．