📝 哈尔滨工业大学 2012年数学分析真题

一．（15 分）（1）证明

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{m}=1
$$

这里 $m$ 为给定正整数．
（2）设 $\displaystyle a_{k}>0(k=1,2, \cdots, m)$ 证明

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}=\max \left\{a_{k}\right\}(1 \leqslant k \leqslant m) .
$$

七．（15 分）（1）证明

$$
\ln (1+x) \leqslant x, x \in(-1, \infty)
$$

（2）求极限

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}}
$$

（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在．证明

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) .
$$

三．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，证明：
（1）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界；
（2）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 是一致连续函数．

九．（15 分）（1）设 $\displaystyle \mu=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，若 $\displaystyle x=s^{2}-t^{2}, y=2 s t$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} \mu}{\partial s \partial t}$ ．
（2）求二元函数

$$
f(x, y)=y^{3}-3 x^{2} y
$$

的极值点．
（3）求

$$
f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}
$$

在 $\displaystyle x y z=1$ 且 $\displaystyle x, y, z>0$ 条件下的极值．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二次连续可微，证明 $\displaystyle f(x)$ 为次数不超过二次多项式的充要条件是：对于任意的 $\displaystyle x, h$有等式

$$
f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)
$$

五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 为单调上升趋于无穷的正数列，证

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}^{x} a_{n+1}}
$$

并求 $\displaystyle f(x)$ 的定义域．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，按提示三种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)>0(\xi<x \leqslant b)$ ．
（1）确界定理；
（2）区间套定理；
（3）有限覆盖定理；
（4）其他方法．

六．（15 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mu_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a-z, a+z)$ 上一致收玫且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \mu_{n}(x)=A_{n}$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}$ 收玫且有

$$
\lim _{x \rightarrow a} \sum_{n=1}^{\infty} \mu_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}
$$

十．（15 分）（1）计算积分

$$
\int_{C}\left(\sin x-y \mathrm{e}^{x y}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y
$$

其中 $C$ 为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向逆时针．
（2）计算积分

$$
\iint_{S}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} s
$$

其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z \geqslant 0), \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲线的外法线的方向余弦．
（3）设 $S$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中具有光滑定向边界 $\displaystyle \partial S$ 的光滑定向曲面，$S$ 与 $\displaystyle \partial S$ 的定向满足右手规则，假设 $\displaystyle f, g$ 在包含 $S$的区域中分别满足偏导数连续和二阶偏导数连续。证明

$$
\int_{\partial S} f \nabla g \overrightarrow{\mathrm{~d} s}=\iint_{S} \nabla f \times g \vec{n} \mathrm{~d} s
$$

其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位法向量．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得

$$
\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow 0} \int_{a}^{c} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x, \forall c \in[a, b]
$$