📝 哈尔滨工业大学 2014年数学分析真题

一．（15 分）（1）求 $\displaystyle \left\{\frac{n-1}{n+1} \cos \frac{2 n \pi}{3}\right\}$ 的上确界，并证明．
（2）证明在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上， $\displaystyle \sup \{-f(x)\}=-\inf \{f(x)\}$ ．
（3）求 $\displaystyle \left\{a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}\right\}$ 的上极限，并证明．

七．（15 分）用提示的三种方法证明 $\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的极限趋于无穷．
（1）反证法；
（2）柯西收敛原理；
（3）单调数列；
（4）正项级数收敛判别；
（5）其他方法．

三．（20 分）$\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界吗？若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$内无界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内无界吗？证明你的结论．

九．（20分）（1）求

$$
\iint_{Z} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle Z: z=\mathrm{e}^{y}$ 绕 $z$ 轴旋转而得．
（2）求

$$
\int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z
$$

其中 $L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去，方向为逆时针．

二．（15 分）$\displaystyle f(x), g(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续吗？若 $\displaystyle (a, b)$ 是无穷区间呢？证明你的结论．

五．（15 分）设 $\displaystyle \lambda>0,0<\alpha<\beta$ ，则存在 $\displaystyle |\theta|<1$ ，使成立

$$
\alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\mathrm{e}^{-\lambda x}}{x} \cos x \mathrm{~d} x=2 \theta .
$$

八．（15 分）求函数 $\displaystyle x+2 y+3 z$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值与最小值．

六．（20分）谈论函数

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4}+(-1)^{n} \cdot n}{x^{2}+n^{2}}
$$

的定义域与连续性（一致收玫判别法）．

四．（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可微，且 $\displaystyle M_{k}=\sup \left|f^{(k)}(x)\right|<+\infty(k=0,1,2)$ ，则 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ ．