📝 哈尔滨工业大学 2018年数学分析真题

一．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ ，用 $\displaystyle \delta, \varepsilon$ 定义证明

$$
\lim _{x \rightarrow a} \frac{1}{\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{A}}
$$

七．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内处处存在有意义，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可取到最大值与最小值．

三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 内连续且有渐近线 $\displaystyle y=a x+b$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

九．求 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+12 x y+y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 25$ 内的最大值与最小值．

二．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且存在周期 $T$ ．
（1）证明 $\displaystyle \{x \mid \forall T>0, f(x)=f(x+T)\}$ 为非空集；
（2）证明 $\displaystyle f(x)$ 存在最小正周期 $T$ ；
（3）若去掉＂连续＂这个条件，（2）的结论是否成立，成立请证明；不成立举反例．

五．设 $\displaystyle \max _{a \leqslant x \leqslant b} f(x)=M$ ，试证明

$$
M=\sqrt[n]{\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x}
$$

八．求

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}
$$

的定义域和单调性．

六．求

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{n+\frac{1}{n}}}
$$

的玫散性．

十．（1）格林公式；
（2）高斯公式；
（3）斯托克斯公式．
同以前真题．

四．已知 $\displaystyle x>-1$ ，证明：
（1） $\displaystyle \ln (1+x) \leqslant x$ ；
（2）$\displaystyle \left|\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}\right|=\frac{1}{2}$ ．