📝 哈尔滨工程大学 2016年高等代数真题

七、（15分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的 3 维线性空间，
是空间 $V$ 的一组基 $\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ，
$\displaystyle \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \quad \beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{1}$.
（1）求证 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 也是空间 $V$ 的基；
（2）求基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 到 的过渡矩阵；
（3）求 $\displaystyle \gamma=3 \alpha_{1}+\alpha_{2}-4 \alpha_{3}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的坐标．

三、（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为一组 $n$ 维向量，求证 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充分必要条件为任意 $n$ 维向量均可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性表示．

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 均为奇数，求证 $\displaystyle f(x)$ 不能有整数根．

二、（15 分）计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}x & y & y & \cdots & y & y \\ z & x & y & \cdots & y & y \\ z & z & x & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ z & z & z & \cdots & x & y \\ z & z & z & \cdots & z & x\end{array}\right|$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求证：$\displaystyle A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}2^{n} & 2^{n-1} n & 2^{n-3} n(n-1) \\ 0 & 2^{n} & 2^{n-1} n \\ 0 & 0 & 2^{n}\end{array}\right)$ ．

八、（15 分）用正交线性交替换化二次型为标准形，并判断 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 为何种曲面？其中，$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ ．

六、（ 15 分）设 $A$ 为阶正交阵。
（1）求证：对任意的 维列向量 $X$ ，有 $\displaystyle \|A X\|=\|X\|$ ；
（2）若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，求证 $\displaystyle |\lambda|=1$ ．

十、（10分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换， $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A})$ 与 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 分别为线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域和核空间，求证： $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A}=V$ 的充分必要条件为
$\displaystyle \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}$.

四、（15分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle |A| \neq 0, A C=C A$ 。求证：$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|A D-C B|$ ．

1．设 $\displaystyle (x-1)^{2} \mid A x^{4}+B x^{2}+1$ ，则 $\displaystyle A+B=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

2．设 $\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & -2 & 4 & -8 \\ 1 & 3 & 9 & 27\end{array}\right|$ 的三个根为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．若方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=a_{1} \\ x_{2}-x_{3}=a_{2} \\ x_{3}-x_{4}=a_{3} \\ x_{4}-x_{5}=a_{4} \\ x_{5}-x_{1}=a_{5}\end{array}\right.$ 有解，则 $\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．若 3 阶可逆阵 $A$ 交换 1,3 行得 $B$ ，则 $\displaystyle A B^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right), f(x)=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}(x-5)^{5}(x-6)^{6}+x+1$ ，则 $\displaystyle f(A)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。