📝 哈尔滨工程大学 2021年高等代数真题

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

3．（15 分）三阶方阵 $A, B$ 满足 $A^{-1} B A=2 A+B A$ ，其中，$A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．

4．（15 分）已知方程组 $A X=b$ 的一个特解为 $\alpha^{*}, A X=0$ 的基础解系为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ ．
（1）写出 $A X=b$ 的三个线性无关的解 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ ；
（2）证明 $A X=b$ 的任意四个解线性相关；
（3）证明 $\gamma$ 为 $A X=b$ 的解的充要条件是：存在常数 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，使得 $\gamma=k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+k_{3} \beta_{3}$ ，其中，$k_{1}+k_{2}+k_{3}=1$ ．

5．（15 分）已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$E$ 为 $n$ 单位矩阵，证明：$A+A^{-1}-E$ 为正定矩阵．

6．（15 分）已知 $\alpha_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right), \alpha_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}\right), \cdots, \alpha_{r}=\left(a_{r 1}, a_{r 2}, \cdots, a_{r n}\right)$ 线

性无关，其中，$r<n$ ，且 $\beta^{T}$ 为方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0\end{array}\right.$ 的一个非零解，证明 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．

7．（15 分）已知 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 为 $V$ 的子空间，判断下列说法是否正确，若正确给出证明，若错误给出反例．
（1）$\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}=\left(V_{1} \cap V_{3}\right)+\left(V_{2} \cap V_{3}\right)$ ；
（2）若 $V_{1}+V_{2}, V_{1}+V_{3}, V_{2}+V_{3}$ 均为直和，则 $V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 也为直和．

8．（15）若三阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A(1,1,1)^{T}=(4,4,4)^{T}$ 且存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^{T} A P=P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & k\end{array}\right)$ ．
（1）求 $k$ 出的值；
（2）求出使上述成立的矩阵 $P$ 。

9．（15 分）已知 $\sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$\tau$ 为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\alpha, \beta \in V$ ，均有 $(\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta))$ ，证明 $\tau=\sigma^{-1}$ ．

10．（15 分）已知 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征值均为偶数，证明矩阵方程 $X+A X-X A^{2}=O$ 只有零解．